Funktion zur Ableitung

20.03.2005, 23:10	Tobias84	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion zur Ableitung Wie kann ich, wenn ich ne Ableitung graphisch vor mir habe, zur eigentlichen Funktion kommen?
20.03.2005, 23:35	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hoffe, dass das jetzt nicht irgendwie ne Frage aus dem nichts ist und du noch nie was vom Begriff Stammfunktion gehört hast. Wenn du den Begriff gehört hast, dann wirst du auch wissen, dass du unendlich viele solcher Funktionen finden wirst. 1. Möglichkeit: Du findest die Funktionsgleichung der Ableitung und suchst durch Integration eine Stammfunktion. Ist es dir nicht möglich, nur anhand des Bildes die Funktionsgleichung genau zu bestimmen, so würde ich folgendes vorschlagen: Die 2. Möglichkeit ist, du bildest eine Integralfunktion. Du nimmst dir einen Punkt auf der x-Achse, z.B. x=0, und näherst dann von da aus zu n paar anderen Punkten, z.B. x=1, x=2, x=3, x=-1, x=-2, x=-3 usw., den Flächeninhalt unterm Graphen ein. Der zu dem jeweiligen x-Punkt gehörende Flächeninhalt ist dann der Funktionswert bei diesem Punkt. Beispiel: Ist der Flächeninhalt von 0 bis 1 =12, so ist F(1)=12. Du zeichnest dir dann diese Punkte mit dem Funktionswerten ein und verbindest die Punkte so durch gesunden Menschenverstand, dass eine einigermaßen klare und glatte Funktion rauskommt. 3. Möglichkeit ist das Annähern mit Polynomen (Approximation). Du liest mehrere x-Werte mit ihren Ableitungswerten ab. Hast du n+1 x-Werte mit den zugehörigen Ableitungswerten, so bekommst du mit diesen ein eindeutig bestimmtes Polynom n-ten Grades, indem du den Ansatz $\begin{eqnarray} F'(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \end{eqnarray}$ wählst und durch Einsetzen deiner Paare die Koeffizienten $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ bestimmst (GLS, dürfte für große n relativaufwändig werden). Da gibt es dann noch einfachere Verfahren, wie Lagrangesche oder Newtonsche Interpolationspolynome. Falls du diese Verfahren kennst, kannst du auch diese benutzen. Wenn du dann endlich das Näherungspolynom hast, kannst du dieses integrieren und erhältst eine Näherungsfunktion für eine Stammfunktion. Diese Näherungsfunktion ist dann natürlich ein Polynom n+1. Grades.
20.03.2005, 23:41	Tobias84	Auf diesen Beitrag antworten »
Durchaus Matheschüler! Es kann nur sein, dass morgen ne Aufgabe gestellt wird, dass wir anhand einer Zeichnung der Ableitung die Stammfunktion bestimmen müssen - ohne Aufleiten.
21.03.2005, 00:13	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, wie gesagt. Ich hab dir drei Möglichkeiten gegeben. Je nachdem, wieviel Zeit du hast, kannst du dir eine auswählen. Wenn ihr die Funktionsgleichung bestimmen sollt, dann müsste der Graph so einfach sein, dass du schon die Funktiongleichung der Ableitung bestimmen kannst, das läufta auf die 2. Möglichkeit hinaus. Noch mehr kann ich dir nicht helfen.
21.03.2005, 01:15	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht es darum, eine konkrete Funktionsvorschrift der Stammfunktion zu bekommen? Oder nur einen groben grafischen Verlauf? Wenn es um den grafischen Verlauf geht, kannst du dir ein paar Zusammenhänge merken. $\begin{eqnarray} \begin{tabular}{\|c\|c\|}\hline f' & f \\ \hline einfache Nullstelle (schneidet die x-Achse) & Extremstelle \\ Doppelte Nullstelle (Berührt die x-Achse) & Wendestelle mit waagrechter Tangente \\ Extremstelle & Wendestelle \\ $f'(x)>0$ & steigend \\ $f'(x)<0$ & fallend \\ $\lim_{x_\rightarrow\infty}f'(x)=0$ & waagrechte Asymptote für $x\rightarrow\infty$ \\ \hline \end{tabular} \end{eqnarray}$ Aber wie MSS schon gesagt hat, gibt es unendlich viele Stammfunktionen. Du kannst deine gefundene Skizze also beliebig nach oben/unten verschieben. Ich hoffe, ich habe das zu so später Stunde noch korrekt hingekriegt

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