Würfel, Kugel, Verhältnis, Folge, Reihe

25.09.2007, 12:58

mathe000

Würfel, Kugel, Verhältnis, Folge, Reihe

Einem Würfel wird eine Kugel eingeschrieben. Zu den acht Ecken hin werden immer wieder einander berührende Kugeln eingeschrieben. In welchem Verhältnis steht die Summe aller Kugelinhalte zum Volumen des Würfels?

folgenden Ansatz habe ich:
r1 = a/2 d1 = a
r2 = a/12 d2 = a/6
r3 = a/72

V = a^3
V = 4/3 *a^3/8 * pi + 8*4/3 pi * a^3/12^3 *((1/6^3)^n-1)/(1/6^3-1)

für n = 3a/5

Wenn ich das System löse komme ich auf ein negatives Verhältnis.
Das Ergebnis soll aber 1 : 0,605

Bitte um Hilfe!

25.09.2007, 14:53

mYthos

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Wie du auf r2 kommst, ist mir schleierhaft. Um die Berührungen der Kugeln zu sehen, muss man einen Diagonalschnitt durch den Würfel machen. Die Mittelpunkte aller Kugeln liegen auf der Raumdiagonale und die Berührungspunkte immer auf den Flächen, nicht auf den Kanten.

mY+

25.09.2007, 15:01

mathe000

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ist r2 dann a/4 ??

25.09.2007, 15:08

Poff

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Nein,
nicht raten, 'rechnen'

25.09.2007, 15:18

outSchool

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Hallo,

versuche es mal mit folgendem Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \text {Kante des Würfels: } a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text {Radius der ersten Kugel: } r_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text {Halbdiagonale Mittelpunkt Kugel 1 in die Würfelecke: } \delta_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text {Radius der zweiten Kugel: } r_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text {Halbdiagonale Mittelpunkt Kugel 2 in die Würfelecke: } \delta_2 \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} r_1=\frac{1}{2} \cdot a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \delta_1 = \sqrt{3} \cdot r_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \delta_2 = \sqrt{3} \cdot r_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \delta_1 = r_1 + r_2 + \delta_2 \end{eqnarray*}$

Die nächste Hilfe gibt es, wenn Du Dein Zwischenergebnis hier reinstellst.

25.09.2007, 15:48

mathe000

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r2 = [a/2 * (Wurzel(3)-1)]/(1 + Wurzel 3)

V = r1^3* 4/3 * pi + 8*r2^3 *4/3 * pi + ... = r1^3*4/3*pi + 8*4/3*pi*r2^3 * (q^n-1)/(q-1)

q = (Wurzel3 - 1)^3 / (1 + wurzel 3)^3

????

25.09.2007, 16:01

outSchool

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Bitte benutze den Formeleditor.

Das Zwischenergebnis für $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ stimmt.

$\begin{eqnarray*} r_2 = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \cdot r_1 = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2} \cdot r_1 = (2 - \sqrt{3}) \cdot r_1 \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt aber noch die dritte Kugel, ... , bis zur n-ten Kugel dazu.
Wie sieht die Folge aus?

Die Aufgabe lautet doch:

Zitat:

Zu den acht Ecken hin werden immer wieder einander berührende Kugeln eingeschrieben. In welchem Verhältnis steht die Summe aller Kugelinhalte zum Volumen des Würfels?

25.09.2007, 16:02

mYthos

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Stimmt ja soweit, warum rechnest du nicht weiter?
Bitte schreibe mit dem Formeleditor, sonst kriegt man Augenschmerzen Big Laugh

mY+

25.09.2007, 16:22

mathe000

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nächster Schritt auf der Datei.. aber wie mach ich weiter?

25.09.2007, 17:28

mYthos

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Deine Rechnung durchschaue ich nicht ganz, und sie beruht offensichtlich auch auf einer falschen Prämisse (Voraussetzung), denn du hast nicht die Summenformel einer unendlichen geometrischen Reihe verwendet. Denn die Reihe hört ja nicht bei einem bestimmten n auf, sondern die Anzahl deren Glieder geht über alle Grenzen. Da die Kugeln aber immer kleiner werden, ist auch die Summe der Volumina unendlich vieler endlich.

Dein Quotient q für das Volumen stimmt jedoch.

Zur Info:

$\begin{eqnarray*} s_{\infty} = \frac{V_1}{1-q} \end{eqnarray*}$

mY+

Hinweise: Bei der Bestimmung des Gesamtvolumens lasse erst mal die erste Kugel stehen und beginne bei der Reihe mit der zweiten (deren Radius kennst du ja schon). Die Inhaltssumme der 8 in die Ecken hin einbeschriebenen Kugeln ist dann

$\begin{eqnarray*} \ldots = 8 \cdot \frac{V_2}{1-q} \end{eqnarray*}$

und vermehrt um das Volumen der ersten Kugel erhalten wir das Gesamtvolumen.

Noch ein Tipp:

Vereinfache $\begin{eqnarray*} 1 - \frac{(\sqrt3 - 1)^3}{(\sqrt3 + 1)^3} \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der binomischen Lehrsätze zu $\begin{eqnarray*} \frac{20}{(\sqrt3 + 1)^3} \ldots \end{eqnarray*}$

25.09.2007, 18:31

mathe000

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Danke ich habs jetzt.. mein Fehler lag nur mehr in der Summe der Volumina. Komm nun auf das richtige Verhältnis.
Danke für eure Hilfe!!!!!!!!

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Würfel, Kugel, Verhältnis, Folge, Reihe

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