gleichmächtige Mengen

21.03.2005, 12:24	Smasher	Auf diesen Beitrag antworten »
gleichmächtige Mengen Hallo, ich bin neu hier und habe das Forum bereits durchsucht und auch nicht unbedingt das gefunden was ich brauche. Ich muss sagen ich bin Schüler der 12ten Klasse Gym, und bewege mich hier noch auf Neuland. Allgemein habe ich auch kaum Erfahrung im Beweisen. Ich habe mir ein Buch über Lineare Algebra zugelegt, indem anfangs etwas Mengenlehre erklärt wird. Und dort gibt es folgende Übungsaufgabe: Beweisen sie, dass die Menge N und die Menge Q gleichmächtig sind. Ich bin in meinem "Versuch" wie folgt vorgegangen: Gleichmächtigkeit von N und Q Die Mengen N und Q sind gleichmächtig! Um dies zu beweisen braucht man eine bijektive Abbildung von N nach Q. Ich habe mir gedacht, eine funktion wäre f(n)=1/(n+1), da für jedes N ein element der Menge Q herauskommt. Zum Beweis: Ist f(n) eine Abbildung von N nach Q? Ja denn jeder Zahl n die element von N ist wird eine Zahl 1/(n+1) die element von Q ist zugeordnet. Ist f(n) surjektiv? Ja denn eine beliebige Zahl 1/(n+1) hat eine Zahl n als Urbild. Ist f(n) injektiv? Ja denn zwei verschiedene zahlen n1 und n2 werden auf die verschiedenen Zahlen 1/(n1+1) und 1/(n2+1) abgebildet => f(n) ist bijektiv, d.h. N und Q sind gleichmächtig Nun werfen sich allgemein einige Fragen auf, ist meine Vorgehensweise richtig? Die Abbildung f(n) deckt zwar alle Elemente N aber nicht alle Elemente Q ab, wäre der beweis also unvollständig oder falsch? Bedeutet das, dass Q mächtiger ist? müsste ich eine Abbildung aufstellen die etwa so aussähe f(q,m) = q/m \|q ist element Z und m ist element N\{0} dann hätte ich aber eine Abbildung abhängig von 2 variablen? Der Beweis das Q gleichmächtig zu N ist wäre dann ja einfach die Umkehrfunktion von f(n)? Das würde ja in meinem "Versuch" eines Beweises auch nicht stimmen weil wie gesagt zu jedem N zwar ein Wert existiert, und auch zu jedem f(n) bzw 1/(n+1) ein Urbild, jedoch nicht zu jedem Q. Zum Beispiel der Bruch 2/3 ist mit meinm f(n) nicht darstellbar. Vielen Dank im vorraus für Hilfe, und entschuldigung das ich den Formeleditor vom Board nicht benutzt habe, ich muss erstmal damit zurecht kommen. Ich hoffe ich habe mich vernünftig und verständlich ausgedrückt. grüße Smasher
21.03.2005, 13:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast noch nicht so richtig verstanden, was "surjektiv" bedeutet. Denn dein $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist gerade nicht surjektiv. Denn "surjektiv" heißt, daß jedes Element der Bildmenge (hier: $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ ) durch $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ erreicht wird. Genau das leistet dein $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ jedoch nicht, wie du selbst schon bemerkt hast. Es gibt viele Möglichkeiten, $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ abzuzählen, die bekannteste ist das erste Cantorsche Diagonalverfahren. Es ist dabei aber auch gar nicht nötig, für $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine "einfache" Formel anzugeben (obwohl es auch solche Abzählungen gibt). Vielmehr genügt es, die Elemente von $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ in einer unendlichen Folge $\begin{eqnarray} r_1, r_2, r_3, \ldots \end{eqnarray}$ anzugeben. Man muß nur beschreiben, wie man diese Folge erzeugt, und nachweisen, daß in der Folge jede rationale Zahl genau einmal vorkommt. Durch die Folge ist dann die gesuchte Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ implizit gegeben: $\begin{eqnarray} 1 \mapsto r_1 \; , \ 2 \mapsto r_2 \; , \ 3 \mapsto r_3 \; , \ \ldots \end{eqnarray}$
05.04.2005, 20:17	The_Lion	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie zeige ich denn genau, dass $\begin{eqnarray} P(\mathbb N) \end{eqnarray}$ , also die Potenzmenge von IN überabzählbar ist ? Es gibt da nen Hinweis: Gäbe es eine Bijektion $\begin{eqnarray} A: \mathbb N \rightarrow P(\mathbb N) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} n -> A_n \end{eqnarray}$ , so definiere: X:= {n \in N \| n \notin A_n}. Wie genau soll ich diesen Hinweis verstehen. jedes n€ IN wird seiner Potenzmenge A_n zugeordnet ?? Oder ist A_n hier auch als Elementder Potenzmenge zu verstehen ? Danke.
05.04.2005, 20:26	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
http://www.matheboard.de/thread.php?thre...e+M%E4chtigkeit

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