Betragsungleichung

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21.03.2005, 13:02	TS	Auf diesen Beitrag antworten »
Betragsungleichung Habe folgende Betragsungleichung: $\begin{eqnarray} \frac{\mid 8x+2 \mid }{4-3x} \leq 6 \end{eqnarray}$ zunächst bestimme ich Nullstellen des Nenners für die Bestimmung der Definitionsmenge Nullstelle des Nenners $\begin{eqnarray} x=\frac{4}{3} \end{eqnarray}$ dann mach ich eine Fallunterscheidung für 4 - 3x , da ich damit multiplizieren will. Fall 1: $\begin{eqnarray} x>\frac{4}{3} \end{eqnarray}$ achte bei diesem Fall natürlich auf Umkehr des $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ Fall 2: $\begin{eqnarray} x<\frac{4}{3} \end{eqnarray}$ So hätte ich den Bruch schonmal weg.. Wie mache ich jetzt die Falluntescheidung für den Betrag?
21.03.2005, 13:13	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsungleichung Das gibt eine weitere Fallunterscheidung: Wann ist 8x + 2 >= Null , wann < Null?
21.03.2005, 13:24	TS	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x \geq -0,25 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x < -0,25 \end{eqnarray}$ und was ist mit den Betragsstrichen?
21.03.2005, 14:14	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Betragsstriche kannst du jetzt - in den beiden Fällen unterschiedlich - auflösen, deswegen macht man ja die Fallunterscheidung: Es ist \|z\| = z für z >= 0, und \|z\| = -z für z < 0. An deine erste Fallunterscheidung bzgl. des Nenners bezogen bedeutet dies, dass du Fall 2 in die Fälle 2.1 und 2.2 unterteilst. Warum das bei Fall 1 nicht auch nötig ist - nun, darauf kommst du vielleicht selbst.
21.03.2005, 14:37	TS	Auf diesen Beitrag antworten »
dann habe ich also 4 Fälle, Fall 1: 4 - 3x > 0 und 8x + 2 >= 0 Fall 2: 4 - 3x > 0 und 8x + 2 < 0 Fall 3: 4 - 3x < 0 und 8x + 2 >= 0 Fall 4: 4 - 3x < 0 und 8x + 2 < 0 Für Fall1 habe ich x <= 0,846 Für Fall2 habe ich x <= 2,6 Für Fall3 habe ich x >= 0,846 Für Fall4 habe ich x >= 2,6 ist das richtig so??
21.03.2005, 15:03	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus, wobei ich zunächst mal eher 11/13 statt 0,846 schreiben würde. Jetzt musst du natürlich noch die erhaltenen Ergebnisse unter Berücksichtigung der jeweiligen Fallbedingungen sehen! (Fall 4 hättest du dir übrigens sparen können, da bereits die Fallbedingung der leeren Menge entspricht.)
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21.03.2005, 16:31	TS	Auf diesen Beitrag antworten »
verstehe nicht ganz was du meinst..
21.03.2005, 17:03	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, wie lautet denn jetzt die Lösungsmenge deiner Ungleichung, zusammengefasst über alle Fälle?
21.03.2005, 18:28	TS	Auf diesen Beitrag antworten »
Fall 1: $\begin{eqnarray} [-\frac{1}{4}; \frac{4}{3}[ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\leq \frac{11}{13} \end{eqnarray}$ Fall 2: $\begin{eqnarray} [-\infty ; -\frac{1}{4}[ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = 2,6 \end{eqnarray}$ Fall 3: $\begin{eqnarray} ]\frac{4}{3}; +\infty ] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\geq \frac{11}{13} \end{eqnarray}$ Fall 4: $\begin{eqnarray} [-\infty ; -\frac{1}{4}] , ]\frac{4}{3}; +\infty ] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \geq 2,6 \end{eqnarray}$ ??
21.03.2005, 19:02	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich plotte mal die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{\|8x+2\|}{4-3x} \end{eqnarray}$ , vielleicht verstehst du dann was ich meine: Die Lösungsmenge deiner Ungleichung sind alle x mit Funktionswerten kleiner oder gleich 6.
21.03.2005, 20:32	TS	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} L = [-\infty ;+\frac{11}{13}] , [2,6 ; +\infty ] \end{eqnarray}$ ??
21.03.2005, 20:45	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso 2,6 ? Ich ergänze mal den Plot von Arthur Dent um die senkrechte Asymptote (wenn auch nur angenähert):
21.03.2005, 20:58	TS	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, dann anscheinend 4/3 statt die 2,6, aber wie sehe ich das ohne den Funktionsverlauf zu kennen?

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