metrik, topologie

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martinmax Auf diesen Beitrag antworten »
metrik, topologie
Man startet mit einer Menge M. Warum legt man automatisch die Topolige fest sobald man auf M eine Metrik definiert?

Konkretes Beispiel: Man nimmt und als Metrik

Warum kann man jetzt nicht einfach trotzdem als Topolgie nehmen?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du auch machen. Aber das wäre dann halt nicht die durch d induzierte Topologie. Augenzwinkern
martinmax Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Kannst du auch machen. Aber das wäre dann halt nicht die durch d induzierte Topologie. Augenzwinkern



Aber dann würde doch nicht mehr gelten, dass jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist?

Wenn man meine Beispiel Topolgie nimmt dann konvergiert doch jede Folge in IR.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von martinmax
Aber dann würde doch nicht mehr gelten, dass jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist?


Was ist denn in deiner Topologie eine Cauchyfolge? Augenzwinkern


Zitat:
Original von martinmax
Wenn man meine Beispiel Topolgie nimmt dann konvergiert doch jede Folge in IR.


Das stimmt. Jede Folge besitzt jede reelle Zahl als Grenzwert.


Mal so nebenbei: Was ist jetzt eigentlich dein Problem? verwirrt
martinmax Auf diesen Beitrag antworten »

In meinem Skript steht:

"Jede konvergente Folge ist eine CF-Folge"

und

sind vollständig bzg. ist nicht vollständig





Wenn man aber Q mit der trivialen Topologie versieht dann ist dort sehr wohl jede CF konvergent.



Zitat:
Was ist denn in deiner Topologie eine Cauchyfolge?



CF sind die Folgen die bezüglich der Metrik CF sind. Aber konvergente Folgen sind die Folgen, die bezüglich der Topologie konvergent sind.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von martinmax
ist nicht vollständig


Damit ist gemeint, dass IQ mit der euklidischen Metrik nicht vollständig ist.
 
 
martinmax Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Folge x_n konvergiert gegen x wenn für jede Umgewbung von x ein
n' aus IN existiert so, dass alle x_n mit n>n' in dieser Umgebung liegen.

Wenn man jetzt IQ mit der trivialen Topologie versieht konvergieren alle Folgen - also auch alle CF.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ach nee... Das hast du doch oben schon geschrieben. Ist ja auch nicht falsch. Na und? Ich hatte oben schon gefragt: Was ist dein Problem?
mmmm Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist: "Jede konvergente Folge ist eine CF-Folge"
falsch!?
mr_endres Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe den Beitrag zwar nur überflogen, aber generell kann man sagen :
nicht jede konvergente Folge muss auch eine Cauchyfolge sein, denn nur wenn ein metrischer Raum vollständig ist nimmt die Cauchyfolge ihren Grenzwert an und konvergiert damit im gewöhnlichen Sinn (also z.B. Banachraum)
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

mr_endres: Jetzt vertauscht du was. In jedem metrischen Raum ist eine konvergente Folge CF. Die Umkehrung dieser Aussage (jede CF konvergiert) erfordert die Vollständigkeit. Augenzwinkern
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mr_endres
... nicht jede konvergente Folge muss auch eine Cauchyfolge sein...


Genau umgekehrt, was du in der anschließenden Erklärung auch richtig sagst.


Zitat:
Original von mmmm
Dann ist: "Jede konvergente Folge ist eine CF-Folge"
falsch!?


Du solltest die Voraussetzungen zu deiner Frage dazuschreiben. Ausgangspunkt ist hier zunächst ein metrischer Raum (X, d). Natürlich werden nun die Begriffe "konvergente Folge" bzw. "CF" bzgl. derselben Metrik verglichen. Und dann gilt:

Jede konvergente Folge ist auch eine CF, aber i.A. nicht umgekehrt.

Grüße Abakus smile

EDIT: Dual Space war schneller und hat es bereits gesagt Wink
mr_endres Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die Korrektur, ich hatte das zwar gemeint, aber falsch hingeschrieben, sorry nochmal falls ich jmd. verwirrt habe.
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