Extremwertproblem Quadrat im Kreis

21.03.2005, 16:25

Fedaykin

Extremwertproblem Quadrat im Kreis

Ich habe folgendes Extremwertproblem zu lösen und sitze da nun schon über 3 h daran. In einem Kreis mit dem umfang U und dem durchmesser D befindet sich ein Rechteck, welche kantenlänge muss das Rechteck haben damit der Flächeninhalt maximal wird. Das dies ein Quadrat werden muss ist mir klar, doch wie beweis ich das mathematisch. Ich bin auf folgende Formel gekommen die ich aber dann nicht sinnvoll ableiten konnte:

a und b sind die Seitenlängen, d der Durchmesser des Kreises

A = b * Wurzel(d²-b²)

Doch so recht weiter komm ich da nicht. ich kann noch schreiben d = (U/Pi)² damit d wirklich konstant ist, aber auch das hilft mir nicht wirklich weiter, besten Dank schonmal für die Hilfe.

21.03.2005, 17:10

Mathespezialschüler

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Deine Formel ist erstmal richtig. Das d ist einfach konstant, das ist doch gegeben, also kannst du das als konstant ansehen und musst da keine Bemerkung mehr hinschreiben!
Als erstes machst du ne Funktion draus:

$\begin{eqnarray*} A(b)=b\cdot \sqrt{d^2-b^2} \end{eqnarray*}$

Da es sehr unangenehm ist, Wurzeln abzuleiten, benutzt man einen Trick: Wir betrachten die Funktion ja nur für d>b>0. Für diese b ist die Funktion natürlich positiv. Deshalb hat das Quadrat der Funktion dieselben Extremstellen wie die Funktion selbst! Du betrachtest also einfach die Funktion

$\begin{eqnarray*} A_1(b)=(A(b))^2=b^2(d^2-b^2) \end{eqnarray*}$

und suchst hier einfach das Maximum, denn diese Funktion $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ ist viel einfacher abzuleiten. Ich hoffe, das hilft mal für's erste. Augenzwinkern

21.03.2005, 17:43

Fedaykin

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Nach einigen hin und her habe ich erstmal folgende Lösung an zu bieten, und wollte fragen ob die vorerst richtig gedacht ist. Oder ob ich ggf auch einen anderen Ansatz machen sollte.

Ausgehend von b²*(d²-b²)

Ausmultipliziert: b²d²-b^4
Erste Ableitung: 2bd²-4b^3
Dannach hab ich 2b Ausgeklammert:

2b * (d²-2b²)

Dies ganze erstmal Null setzen.

Damit hätten wir eine Lösung bei b = 0 Was aber schwachfug ist da wir damit eine Seitenlänge 0 hätten. Also den Therm in der Klammer nochmal 0 setzen

0 = d²-2b²
2b²=d²
aufgelöst nach b wäre das

b = d/Wurzel(2)

Damit wäre nur noch nicht geklärt was a ist... ich denke irgendwo ist noch ein kleiner Denkfehler oder ein größerer.

21.03.2005, 18:01

Mathespezialschüler

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Bis hier ist doch alles richtig! Bis auf die Tatsache, dass man Term ohne h schreibt Augenzwinkern

Du hattest doch beim Flächeninhalt eigentlich A=ab, da hast du doch auch $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{d^2-b^2} \end{eqnarray*}$ eingesetzt. Wenn du jetzt für b dein Ergebnis in diese Gleichung einsetzt, bekommst du a!

21.03.2005, 18:07

Fedaykin

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Gut hab ich nachträglich auch gemerkt. Nur mir kommt der Weg so kompliziert vor. Gibts nichts einfacheres dafür? Hier ist ja extremes um die ecke Denken angesagt (Das ganz mit dem weglassen der Wurzel weil wir die funktion quadrieren, da wär ich alleine nie drauf gekommen)

21.03.2005, 18:15

Mathespezialschüler

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Das ist doch grade das Einfache daran. Du hättest die Funktion natürlich auch mit der Wurzel ableiten können und wärst auf das gleiche Ergebnis gekommen, nur ist die Ableitung viel komplizierter und es hätte sicherlich noch länger gedauert!

21.03.2005, 18:18

Peon

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Wenn DU davon ausgehst, dass $\begin{eqnarray*} d^{2}=a^2+b^2 \end{eqnarray*}$ ist, dann kannst Du doch wahlweise nach a und nach b auflösen, jenachdem, was Du ausrechnen willst.

Hast Du nun bin Abhängigkeit von d ausgerechnet, setzt Du es in di o.g. Formel ein und erhälst a in Abhängigkeit von d,b.

Allerdings erhalte ich für b folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ \frac{d^2}{2}} \end{eqnarray*}$

22.03.2005, 03:53

kikira

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Zitat:

Original von Peon
Hast Du nun bin Abhängigkeit von d ausgerechnet, setzt Du es in di o.g. Formel ein und erhälst a in Abhängigkeit von d,b.

Das ist ein Denkfehler, Peon.
d ist eine Zahl. Der Lehrer hat dir bloß nicht gesagt, welche. Aber du musst d so behandeln, als wäre es eine Zahl.

Man hat ja erst eine Funktion, wenn auf der rechten Seite nur noch eine einzige Unbekannte steht. Daher braucht man ja überhaupt erst eine Nebenbedingung, weil in der Hauptbedingung auf der rechten Seite des Gleichheitszeichen mehrere Unbekannte stehen und durch die Nebenbedingung steht dann in der Hauptbedingung nur noch eine einzige Unbekannte und somit ist die Hauptbedingung zur Funktion geworden. Denn erst dann kannst du ableiten - sobald du eine Funktion hast.

A = a * b >> ist noch keine Funktion, da a und b Unbekannte sind.

A(b) = b² * Wurzel aus (d² - b²) >> nun ist es eine Funktion, weil nur noch eine einzige Unbekannte, nämlich das b, da steht. Denn d ist wie eine Zahl.
Und erst jetzt kannst du ableiten.

Der Flächeninhalt in Abhängigkeit von b heißt übersetzt: Der Flächeninhalt ist abhängig davon, welche Zahl ich für b einsetze. Und zu jeder Breite gibts nur einen einzigen Flächeninhalt. Wenn ich für b = 3 einsetze, dann kann ich nicht 2 verschiedene Flächeninhalte rauskriegen.

Und genau das ist die Definition einer Funktion.
Jedem x-Wert darf NUR EIN EINZIGER y-Wert zugeordnet werden.
Jedem b-Wert darf nur ein einziger Flächeninhalt zugeordnet werden.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ \frac{d^2}{2}} \end{eqnarray*}$

Das ist dasselbe wie $\begin{eqnarray*} \frac{d}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ , denn bei Punktrechnungen darf man teilweise Wurzelziehen. Daher kannst dir das so vorstellen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ \frac{d^2}{2}} = \frac{\sqrt{d^2}}{\sqrt{2}} = \frac{d}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

lg kiki

22.03.2005, 10:55

Peon

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S meinte ich es, wie du es gesagt hast, habe mich wohl etwas undklar ausgedrückt... traurig

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