Grenzwert einer unendlichen Reihe

25.09.2007, 20:08

1234_Gast

Grenzwert einer unendlichen Reihe

Ich wollte mich an dieser Stelle mal erkundigen, ob die Lösung für diese unendliche Reihe stimmt.

Gegeben sei die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{(n-2) \cdot a_{n-1}}{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{1} = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_{n}} \end{eqnarray*}$ einen endlichen Grenzwert besitzt.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_{n}} & = a_{1} + \frac{a_{1}}{1 \cdot 2} + \frac{a_{1}}{2 \cdot 3} + \frac{a_{1}}{3 \cdot 4} + ... + \frac{a_{1}}{(n-1) \cdot n} = a_{1} \cdot \left[1 + \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n \cdot (n+1)}} \right] = 1 + \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n \cdot (n+1)}} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n \cdot (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_{n}} & = 1 + \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}} - \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n+1}} = 1 + \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}} - \sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{n}} = 1 + 1 + \sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{n}} - \sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{n}} = 2 \end{eqnarray*}$

Wäre nett, wenn sich das jemand anschaut und mich auch auf unsaubere Argumentation hinweisen könnte. Wink

25.09.2007, 20:20

therisen

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Induktiv folgt für $\begin{eqnarray*} n\geq2 \end{eqnarray*}$ die Gültigkeit von $\begin{eqnarray*} a_n=\frac1{(n-1)n} \end{eqnarray*}$ . Das solltest du zeigen.

Damit erhält man als Reihenwert 2, wie du geschrieben hast.

Warum schreibst du eigentlich überall den Faktor $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ dazu?

EDIT:

Zitat:

Original von 1234_Gast
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_{n}} & = 1 + \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}} - \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n+1}} = 1 + \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}} - \sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{n}} = 1 + 1 + \sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{n}} - \sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{n}} = 2 \end{eqnarray*}$

Diese Argumentation stimmt nicht. Die harmonische Reihe ist divergent. Arbeite mit den Partialsummen (Teleskopsumme).

Gruß, therisen

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