Doppelreihen

21.03.2005, 18:56	ebbelwoi	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelreihen Hi @ all! Ich schreib demnächst nochmal Ana I und hätte da mal ne Frage: Bin gerade am Durchrechnen von alten Klausuren und bin da auf was doofes gestoßen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty ~sin((-1)^k)/k) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty ~sin(1/k) \end{eqnarray}$ Dass in den Klammern zum Einen die alternierende harmonische Reihe steht, die den Grenzwert ln 2 hat und zum Anderen die harmonische Reihe, die nicht konvergiert steht, ist mir klar. Jetzt folgendes: der Sinus ist ja auch ne Reihe (mit Konvergenzradius unendlich), jetzt hab ich mal so ein bißchen rumprobiert, und mit dem Quotientenkriterium würden beide Reihen konvergieren: $\begin{eqnarray} a(k/k+1)^{2n+1} \end{eqnarray*}$ , wobei a hier entweder 1 oder -1 hoch 2n+1 ist daraus folgt ja, dass dem Betrage nach das Ganze echt kleiner 1 ist und somit die Reihe konvergiert. Ist das richtig? Greetz!
21.03.2005, 19:13	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann deine Rechnung nicht nachvollziehen: Beim Quotientenkriterium beider Reihen kommt für den Grenzwert des betragsmäßigen Quotienten in beiden Fällen der Wert Eins heraus - also ist keine Entscheidung mittels dieses Kriteriums möglich.
21.03.2005, 19:19	ebbelwoi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja gut, aber mit was kann ich da rangehen? Oder hab ich einfach zuviel "Respekt" vor diesen Doppelreihen?
21.03.2005, 19:27	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich sehe nur "einfache" Reihen. Bei 1) hilft das Leibniz-Kriterium über alternierende Reihen. Und bei 2) ist folgende Abschätzung $\begin{eqnarray} \sin(x)\geq\frac{2}{\pi}x\quad \forall\;0\leq x\leq\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ o.ä. ganz nützlich.
22.03.2005, 08:10	ebbelwoi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke! Da muss ich jetzt erst mal drüber Leibniz hab ich bis jetzt noch nie verwenden müssen, daher war mir das so gut wie unbekannt, und die Abschätzung ist mir auch neu!
22.03.2005, 08:28	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier noch ein Plot zu dieser einfach nachzuweisenden Ungleichung:
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