grenzwertbetrachtung bei ner ungleichung

26.09.2007, 00:35

seppl3456

grenzwertbetrachtung bei ner ungleichung

$\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ cauchyfolge

für $\begin{eqnarray*} n,m\geq N \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} |f_n(t)-f_m(t)|< \epsilon \end{eqnarray*}$

warum gilt dann auch:

$\begin{eqnarray*} |f_n(t)-\lim_{m \to \infty} f_m(t)|< \epsilon \end{eqnarray*}$

wenn $\begin{eqnarray*} n,\geq N \end{eqnarray*}$

26.09.2007, 01:17

Marcyman

Auf diesen Beitrag antworten »

Da gibt es einen Satz zu: $\begin{eqnarray*} x_n \to x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y_n \to y \end{eqnarray*}$ und für unendlich viele n gelte $\begin{eqnarray*} x_n \leq y_n \end{eqnarray*}$ . Dann gilt auch $\begin{eqnarray*} x \leq y \end{eqnarray*}$ . Insofern würde ich sagen aus dem " $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ " in deiner zweiten Abschätzung müsste ein " $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ".

26.09.2007, 12:03

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: grenzwertbetrachtung bei ner ungleichung
Nein, das ist so schon richtig, sofern Du einen Quantor vergessen hast:

$\begin{eqnarray*} \forall m,n \geq N \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} |f_n(t)-f_m(t)|< \varepsilon \end{eqnarray*}$

Wenn das für alle m,n grösser als N gilt, dann auch für ein «unendlich» grosses m.

$\begin{eqnarray*} |f_n(t)-\lim_{m \to \infty} f_m(t)|\leqslant \varepsilon, n\geq N \end{eqnarray*}$

26.09.2007, 14:10

seppl3456

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie beweist man das?

26.09.2007, 14:40

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: grenzwertbetrachtung bei ner ungleichung
Vielleicht geht's einfacher, aber ich würde das so machen:

Du willst zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} |f_n(t)-\lim_{m \to \infty} f_m(t)|=|f_n(t)-f(t)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle n grösser als ein gewisses N.

Du weisst, dass $\begin{eqnarray*} \forall m,n \geqslant N \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} |f_n(t)-f_m(t)|< \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$

d.h., dass die Folge beschränkt ist. Also besitzt sie mindestens einen Häufungspunkt. Sei f(t) dieser Häufungspunkt: Wir wissen also, dass es für jedes N in den natürlichen Zahlen einen Index m>N gibt, so dass $\begin{eqnarray*} |f_n(t)-f_m(t)|<\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$

Nun kannst Du abschätzen:

$\begin{eqnarray*} |f_n(t)-f(t)|=|f_n(t)-f_m(t)+f_m(t)-f(t)|\leqslant ... \end{eqnarray*}$

Was kannst Du nun aussagen, falls m,n grösser sind als N?

26.09.2007, 15:00

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: grenzwertbetrachtung bei ner ungleichung
Es gilt

$\begin{eqnarray*} |f_n(t)-\lim_{m \to \infty} f_m(t)|\le \epsilon \end{eqnarray*}$

aber nicht unbedingt

$\begin{eqnarray*} |f_n(t)-\lim_{m \to \infty} f_m(t)| < \epsilon. \end{eqnarray*}$

26.09.2007, 19:13

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig (eine Folge der Dreiecksungleichung), ich werde es in meinem ersten Posting editieren, im zweiten stehts dann so (letztes Ungleichheitszeichen vor den Punkten).

29.09.2007, 22:13

seppl234567

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: grenzwertbetrachtung bei ner ungleichung

Zitat:

Original von Frooke
Vielleicht geht's einfacher, aber ich würde das so machen:

Du willst zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} |f_n(t)-\lim_{m \to \infty} f_m(t)|=|f_n(t)-f(t)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle n grösser als ein gewisses N.

Du weisst, dass $\begin{eqnarray*} \forall m,n \geqslant N \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} |f_n(t)-f_m(t)|< \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$

d.h., dass die Folge beschränkt ist. Also besitzt sie mindestens einen Häufungspunkt. Sei f(t) dieser Häufungspunkt: Wir wissen also, dass es für jedes N in den natürlichen Zahlen einen Index m>N gibt, so dass $\begin{eqnarray*} |f_n(t)-f_m(t)|<\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$

Nun kannst Du abschätzen:

$\begin{eqnarray*} |f_n(t)-f(t)|=|f_n(t)-f_m(t)+f_m(t)-f(t)|\leqslant ... \end{eqnarray*}$

Was kannst Du nun aussagen, falls m,n grösser sind als N?

Jetzt kann man die dreiecksungleichung anwenden?:

$\begin{eqnarray*} |f_n(t)-f_m(t)+f_m(t)-f(t)|\leq |f_n(t)-f_m(t)|+|f_m(t)-f(t)| \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste man damit das Sinn ergibt

$\begin{eqnarray*} |f_m(t)-f(t)| \end{eqnarray*}$ durch e/2 abschätzen können, ich seh aber nicht wieso das so ist.

29.09.2007, 23:22

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: grenzwertbetrachtung bei ner ungleichung
In welchem Raum befinden wir uns? Ich vermute mal es ist ein Banachraum wie $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Zumindest gehe ich im Folgenden davon aus.

Zitat:

Original von Frooke
Du willst zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} |f_n(t)-\lim_{m \to \infty} f_m(t)|=|f_n(t)-f(t)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle n grösser als ein gewisses N.

Ok, damit sagst du aus, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ (punktweise) konvergiert. Das stimmt nach obiger Annahme (Banachraum).

Zitat:

Original von Frooke
Du weisst, dass $\begin{eqnarray*} \forall m,n \geqslant N \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} |f_n(t)-f_m(t)|< \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$

d.h., dass die Folge beschränkt ist. Also besitzt sie mindestens einen Häufungspunkt. Sei f(t) dieser Häufungspunkt: Wir wissen also, dass es für jedes N in den natürlichen Zahlen einen Index m>N gibt, so dass $\begin{eqnarray*} |f_n(t)-f_m(t)|<\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$

Der Sinn erschließt sich mir nicht. Du verwendest den Satz von Bolzano-Weierstraß der äquivalent zur Vollständigkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist. Weiter oben hast du davon ja auch Gebrauch gemacht, als du gesagt hast, dass die Folge konvergiert. Warum gehst du jetzt also einen Schritt zurück?

Um es nochmal deutlich zu machen: Der einzige nichttriviale Teil der Aufgabe ist es (meiner Meinung nach) zu zeigen, dass der Index N bei dem Grenzübergang $\begin{eqnarray*} m\to\infty \end{eqnarray*}$ in obiger Cauchy-Bedingung fix bleibt. Dabei hilft dein Ansatz über die Dreiecksungleichung leider nicht weiter.

Ich finde Marcyman hat es auf den Punkt gebracht: Fixiere n und betrachte die neue Folge $\begin{eqnarray*} d_m:=|f_n(t)-f_m(t)| \end{eqnarray*}$ . Für fast alle m gilt $\begin{eqnarray*} d_m<\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Ferner konvergiert $\begin{eqnarray*} d_m \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} |f_n(t)-f(t)|=\lim_{m\to\infty}d_m\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

30.09.2007, 19:44

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst Du das für einen ganz Begriffsstutzigen nochmals erklären? Also mein erster Post bezog sich nur auf eine Korrektur von Startposting von seppl. Wo ist genau der Zirkelschluss im anderen Post? Anders gefragt: Wo benutzt mein Beitrag genau die Vollständigkeit von IR?

30.09.2007, 20:19

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Beweis hat nichts mit der Aufgabenstellung, die du die hier richtig wiedergegeben hast, zu tun. Allerdings glaube ich, dass du sie missverstehst:

Zitat:

Original von Frooke
Du willst zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} |f_n(t)-\lim_{m \to \infty} f_m(t)|=|f_n(t)-f(t)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle n grösser als ein gewisses N.

Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \lim_{m\to\infty}f_m(t)=f(t) \end{eqnarray*}$ , die du in der Behauptung verwendest, suggeriert bereits die punktweise Konvergenz der (Funktionen-)Folge. Dass sie konvergiert, ist auch klar, da es sich um eine Cauchy-Folge handelt und wir uns in einem Banachraum (sagen wir mal $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) befinden. Anscheinend willst du aber die Aussage $\begin{eqnarray*} \text{Satz von Bolzano-Weierstraß gilt}~\Rightarrow~\text{Jede Cauchy-Folge konvergiert} \end{eqnarray*}$ beweisen. Wie schon weiter oben gesagt, frage ich mich, was das mit der Aufgabenstellung hier zu tun hat.

Gruß, therisen

30.09.2007, 20:32

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, das habe ich so missverstanden, danke für die Erklärung, aber ich denke, dass ich es noch immer nicht ganz verstanden habe. Ich dachte, dass es eben genau darum geht, $\begin{eqnarray*} \text{Satz von Bolzano-Weierstraß gilt}~\Rightarrow~\text{Jede Cauchy-Folge konvergiert} \end{eqnarray*}$ zu beweisen, denn mit der Schreibweise $\begin{eqnarray*} \lim_{m \to \infty} f_m(t) \end{eqnarray*}$ im Absolutbetrag, ging ich davon aus, dass die Existenz eben vorausgesetzt wird...

Was soll man denn genau zeigen? Hammer

30.09.2007, 20:46

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Frooke
Was soll man denn genau zeigen? Hammer

Das hast du eigentlich schon in deinem ersten Beitrag gesagt, aber ich wiederhole es mal mit anderen Worten:

Sei $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ eine reelle Funktionenfolge, die für ein festes $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ der Cauchy-Bedingung genügt, d.h. für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} |f_n(t)-f_m(t)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ sobald $\begin{eqnarray*} n,m\geq N \end{eqnarray*}$ . Von jetzt an seien $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ fixiert. Man zeige, dass gilt $\begin{eqnarray*} |f_n(t)-f(t)|\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$ .
Du kannst also nichts mehr an dem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ verändern.

Gruß, therisen

01.10.2007, 18:16

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von therisen
Du kannst also nichts mehr an dem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ verändern.

Genau den Satz hatte ich gebraucht (Du hattest ihn zwar bereits erwähnt, aber ich hab's irgendwie nicht geschnallt...). Jetzt sehe ich es Gott

, danke. Und verzeih mir meine lange Leitung, war ja übelst... unglücklich

Neue Frage »

Antworten »

grenzwertbetrachtung bei ner ungleichung

Verwandte Themen