Bruchgleichung

21.03.2005, 20:54

TS

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Bruchgleichung

Folgende Bruchgleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln(x)-1} + \frac{1}{ln (x^{2})-3} = \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$

zunächst
$\begin{eqnarray*} ln (x^2) = 2 ln (x) \end{eqnarray*}$

dann ersetze ich zur Vereinfachung

$\begin{eqnarray*} ln (x) = z \end{eqnarray*}$

daraus folgt :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z - 1} + \frac{1}{2z -3} = \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$

jetzt muss ich den Hauptnenner bestimmen

der ist $\begin{eqnarray*} (z-1) * (2z-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2z-3 + z-1}{2z^2-5z+3} =\frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$

Mir scheint das alles ein bißchen falsch, könnte das mal jemand kontrollieren, bevor ich weitermache? Mir evtl einen besseren bzw den richtigen Weg zeigen?

21.03.2005, 21:05

JochenX

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schaut doch ganz gut aus bislang....
rechne doch erst mal fertig.....
beide seiten *"nenner" und dann die quadratiosche gleichung lösen....
zähler kannst vorher noch vereinfachen links...

ganz zu beginn vielleicht auch mal einen definitionsbereich bestimmen...

21.03.2005, 21:16

TS

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Achso ja, Definitionsbereich R ohne 1 und 1,5

Vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{3z-4}{2z^2-5z+3} =\frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$

multipliziert mit dem Hauptnenner

$\begin{eqnarray*} 3z-4 =\frac{2z^2-5z+3}{\lambda} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3z-4)*\lambda =2z^2-5z+3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3z\lambda -4\lambda =2z^2-5z+3 \end{eqnarray*}$

was jetzt?

21.03.2005, 21:52

JochenX

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was du da stehen hast, ist für feste lambda eine wunderschöne quadratische gleichung für z...
bringe mal alles auf eine seite, dann hast du az²+bz+c=0

der defbereich gilt übrigens für z, nachher auch noch für x beachten!

edit: achja, lambda <>0, das ist auch noch wichtig, sonst... naja Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.03.2005, 22:28

TS

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wie soll ich denn alles auf eine Seite bringen?

soll ich lambda einfach vernachlässigen un zusammenrechnen?

so ungefähr:

$\begin{eqnarray*} 2z^2-8z\lambda +7\lambda =0 \end{eqnarray*}$

21.03.2005, 22:37

Mathespezialschüler

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Nein, lambda darfst du natürlich nicht einfach vernachlässigen!
Was ist denn daran so schwer, alles auf eine Seite zu bringen??

$\begin{eqnarray*} 3z\lambda -4\lambda =2z^2-5z+3\ \ \ |\ -3z\lambda+4\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=2z^2-5z+3-3z\lambda+4\lambda \end{eqnarray*}$

Du musst lambda wie eine Zahl behandeln, darfst es aber nicht vernachlässigen! Jetzt noch ordnen:

$\begin{eqnarray*} 2z^2-5z-3z\lambda+3+4\lambda=0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt hast du eine quadrat. Gleichung, die du in die Form

$\begin{eqnarray*} z^2+pz+q=0 \end{eqnarray*}$

bringen kannst/musst. Die kannst du dann mit der Lösungsformel lösen. Um die obige Gleichung in diese Form zu bringen, musst du nur geeignet ausklammern und durch 2 teilen!

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21.03.2005, 22:53

TS

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was kann ich denn da ausklammern?

21.03.2005, 22:54

JochenX

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$\begin{eqnarray*} -5z-3\lambda z=-(5+3\lambda)z \end{eqnarray*}$ zum beispiel.
dann siehst du die mitternachtsformel/p,q-formel vielleicht eher....

21.03.2005, 22:58

TS

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und was ist mit dem 4 lambda?

wäre dan quasie (3+4lambda)/2 = q ?

21.03.2005, 23:02

JochenX

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Zitat:

Original von TS
wäre dan quasie 3+4lambda/2 0= q ?

was immer die 0 da drin macht verwirrt

verwirrt

und natürlich musst du wegen punkt vor strich klammern setzen um (3+4lambda)/2...
aber ansonsten meinst du das richtige, das zusammen ist dein konstantes element.

mfg jochen

21.03.2005, 23:04

Mathespezialschüler

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Ja, genau, aber noch Klammern setzen!

$\begin{eqnarray*} q=\frac{3+4\lambda}{2} \end{eqnarray*}$

21.03.2005, 23:05

TS

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dann ist p = -(5+3lambda)/2 ?

aber wie mach ich das denn dann mit der pq-Formel, ich muss doch
p/2 quadrieren und daraus die Wurzel ziehen, was genau mach ich da mit dem lambda?

21.03.2005, 23:08

JochenX

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hmm, da muss noch ein minus vor dein p.
nimm das lambda einfach wie eine "normale" zahl mit....
das steht ja im endeffekt für irgendeine von 0 verschiedene reelle zahl und ist nur nicht näher bestimmt....

21.03.2005, 23:16

TS

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$\begin{eqnarray*} x = + \frac{5+3\lambda }{4} \pm \sqrt{(\frac{-5+3\lambda }{4} )^2 - \frac{3+4\lambda}{2} } \end{eqnarray*}$

??

21.03.2005, 23:24

JochenX

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ich bin zwar normalerweise mitternachtsformelnutzer, aber umgerechnet sieht das gut aus, ja.
kannst unter der wurzel vielleicht noch ein wenig zusammenfassen....

21.03.2005, 23:26

TS

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Mitternachtsformel??

was könnte ich denn unter der Wurzel noch zusammenfassen?

21.03.2005, 23:29

JochenX

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naja, du könntest die klammer ausmultiplizieren, nennergleich machen und dann noch etwas teilweise wurzelziehen...
sieht auf jeden fall besser aus denke ich.

rücksubstitution nicht vergessen!

21.03.2005, 23:38

TS

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$\begin{eqnarray*} x = + \frac{5+3\lambda }{4} \pm \sqrt{\frac{25+2\lambda+9\lambda ^2}{16} } \end{eqnarray*}$

so nicht, oder?

22.03.2005, 13:27

JochenX

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beachte: der hintere bruch wird abgezogen.....

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