Stochastikaufgaben-Mischung

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Peon Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastikaufgaben-Mischung
Hallo zusammen,

ich würde gerne nochmal meine Lösngen von euch überprüfen lassen.

1) Eine Abituraufgabe im LK Mathe bestehe aus 3 voneinander unabhängigen Aufgaben mit den "Leichtigkeitsgraden" 0,7 0,6 und 0,4 (d.h 70%,60% bzw. 40% der Kandidaten lösen erfahrungsgemäß die jeweilige Aufgabe richtig).

Betrache die Zufallsfunktion X: "Anzahl richtig gelöster Aufgaben eines Prüflings".

a) Gib den Ergebnisraum "OMEGA" für X mit zugegörigenm Wertebereich W(x) an!

b) Berechne aus den Angaben über die Leichtigkeitsgrade die zu X gehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X=k), tabelliere deren Werte und stelle die Zuordnung X und P in einem zusammengängenden Pfeildiagramm graphisch dar! Berechne auch E(X), V(X) und sigma!


2) Auch nach dem Abitur bleibt man vor weiteren Prüfungen leider nicht verschont... Eine Behörde mache einen Einstellungstest mit 100 voneinander unabhängigen Fragen, die nach mehrjährigen Erfahrungen alle deselben Leichtigkeitsgrad von 0,45 haben sollen. X sei wieder wie in a) definiert.

a) Begründe eine passende Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X=k) dazu und berechne E(x), V(x) und sigma!

b) Prüfe, ob sich eine einfacher zu berechnende Näherungsverteilung anbietet und berechne damit die Wahrscheinlichkeiten für "genau 53" bzw. für "53 oder mehr" richtig beantwortete Fragen!

c) Wie viele Fragen musste man bislang in der Regel mindestens richtig beantworten, wenn aufgrund der freien Plätze nur 67% der Bewerber eingestellt werden konnten?

d) Nun habe ein Bewerber 53 Fragen richtig beantwortet (vergl. b)!). Es stellt sich die Frage, ob für diesen Bewerber die Nullhypotese p0 = 0,45 bzgl. des Leichtigkeitsgrades der Aufgaben noch zutrifft (er also nur duchr glücklichen Zufall mehr Fragen richtig beantwortet hat), oder ob ihm ein individuell höherer Leichtigkeitsgrad (also überdurchschnittliche Fähigkeiten) zugesprochen werden muss. Konstruiere dazu einen Signifikanztest auf einem Signifikanzniveau von = 5%!

Berechne und interpretiere ausführlich die Fehler erster und zweiter Art, insbesondere die -Fehler zu p = 0,5; 0,55 und 0,6 und zeichne damit die Operationscharakteristik zu diesem Testverfahren!


So und hier meine Lösungen:

Aufgabe 1 lass ich teilweise aus, da zu viel zu zeichnen wäre.

P(X=3) = 0,168
P(X=2) = 0,436
P(X=1) = 0,324
P(X=0) = 0,072

E(X)= 1,7
V(X)= 0,69
sigam = 0,831

2)
a)Begründung: unabhängiges Testverfahren, Wahrscheinlichkeiten beliben immer gleich für jede Frage, Urne mit Zurücklegen.
E(X) = 45
V(X) = 24,75
sigma = 4,975

b) Phi-Näherung, da rel. großes n und p nahe 0.5
P(X=53) = 2,2%
P(X53) = 4,46%

c) 43 Fragen

d) k=53, also NEIN keine besonderen Fähigkeiten, da Y\leq 53 noch zutrifft.
= 0,0436
0,5 = 0,7580
0,55 = 0,3821
0,6 = 0,0934

So das sind meine Ergebnisse, hoffe sie sind richtig, konnte sie nicht ausführlicherschreibn, da ich sofort weg muss..
gast Auf diesen Beitrag antworten »

> a:=0.7:b:=0.6:c:=0.4:

> x3:=a*b*c;

x3 := 0.168

> x2:=a*b*0.6 + a*c*0.4 + b*c*0.3;

x2 := 0.436

> x1:=a*0.4*0.6+b*0.3*0.6+c*0.3*0.4;

x1 := 0.324

> x0:=0.3*0.4*0.6;

x0 := 0.072

> ex:=3*0.168+2*0.436+1*0.324;

ex := 1.700

> vx:=(1-ex)^2*x1+(2-ex)^2*x2+(3-ex)^2*x3+(0-ex)^2*x0;

vx := 0.690000000

> st:=sqrt(vx);

st := 0.8306623863

also aufgabe eins hab ich genau das gleiche... die anderen aufgaben mache ich eventuell später
cu
gast Auf diesen Beitrag antworten »

ja 2 ist glaub ich auch in ordnung... aber bei 2c wie kommst du genau auf die 43 ist hab nämlich was anderes raus, weiss aber selber nicht ob meins oder deins stimmt.... schreib einfach mal die rechnung dann kann ich glaub ich sehen ob meins falsch ist....
cu
Peon Auf diesen Beitrag antworten »

Bei c) bin ich mir auch nicht sicher, ich habe mir folgendes gedacht:

0,671-

das dann umgeformt nach k:



und dann kam da raus:

42,23... also k=43
Peon Auf diesen Beitrag antworten »

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Hier noch weitere Aufgaben:

3)Beim Bau der Tiergarage eines Kaufhauses ging man von durchschnittlich 800 Autos pro Tag aus, die während der zehnstündigen Öffnungszeiten von 10 bis 20 Uhr jeweils im Schnitt für ca. 2 Stunden dort abgestellt würden.

Betrachte die Zufallsfunktion X:"Anzahl der parkenden Autos zu irgendeinem Zeitpunkt".

a) Gib den Wertebereich W(X) an, begründe eine passende Wahrscheinlichkeitsverteilung dazu und berechne E(X), V(X) und sigma! Wie viele Parkplätze müssten angelegt werden, wenn man Platz für den durchschnittliche zu irgendeinem Zeitounkt zu erwartenden Wert an parkenden Autos plus noch eine Reserve in Form der einfachen Standardabweichung nach oben bereitstellen will?

b) Gehe jetzt von 171 angelegten Parkplätzen aus. Begründe und berechne Näherungsweise für die Wahrscheinlichkeiten,

b.1)dass das Parkhaus voll ist,
b.2)dass die Anzahl der parkenden Autos zwischen 150 und 170 (je einschließlich= liegt,
b.3)dass wenigstens ein Auto vor der Einfahrt warten muss,
b.4)dass höchstens drei Autos warten müssen,
b.5)das mehr als 10 in der Schlange stehen!


Zu a) habe ich mir folgendes überlegt:

Die Wahrscheinlichkeit p, dass ein Auto anzutreffen ist liegt doch bei , weil ein Auto im Schnitt 2 Std. geparkt wird und das Parkhaus 10 Std. offen hat.

Dann wäre E(X) = 160
V(X) = 128 und
sigam = 11,31

So nunr wäre E(X)+sigam = 171,31, müssten nun eher 171 oder 172 Parkplätze eingerichtet werden, cih denke 171, weil abrunden.

zu b)
Kann man hier mit der Phi-Näherung arbeiten, obwohl üp nicht nahe bei 0,5 liegt, aber n=171 ist dennoch groß und V(X) 9, das hatten wir mal als Faustregel.
Die verschiedenen Fälle lassen sich nun leicht berechnen und folgen bald.
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