Vereinigung der Unterräume

22.03.2005, 13:35

Snooper

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Vereinigung der Unterräume

Hallo, ich hätte mal wieder ne frage,
und zwar heißt die Aufgabe:
Seien U und W Unterräume von V, die Vereinigungsmende U u W ist genau dann ein Unterraum von V wenn entweder U c W oder W c U.

Mehr steht da nicht, weder zeige noch beweise, seltsam...
so mir ist die sache klar, ich habe sie im kopf auch schon durchgespielt, ich kann aber nicht zeigen dass es stimmt. vielleicht kann ich zeigen, dass die aussage nicht stimmt wenn die jeweils nicht teilmengen sid, aber das halt dann nur, indem ich es annehme und dann ein BEispiel finde wo es nicht stimmt und somit sage, bei nichtteilmengen stinmmt es nicht, aber ist dann schon bewiesen, dass es geht, wenn U und W Teilmengen sind?? Eigentlich nicht.
Ich weiß auchnur, das die U + W = < UuW> aber das hilft mir irgendwie auch überhaupt nicht weiter, ist weiß nicht, wie ich da ran gehen soll. ich kann sagen, dass dann für jedes x € U gilt: das x € W und x € UuW ist, und auch wieder umgekehrt, aber das ist auch ja auch kein beweis und dass man dann wenn man zwei beliebige x1 und x2 aus U addiert, das ergebnis auch immer in U u W liegt, aber ist dass dann schon gezeigt, dass UuW auch ein Unterraum ist, reich sowas??
Bitte um Hilfe und Denkanstöße.
Danke.

22.03.2005, 13:57

JochenX

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noch mal zur übersicht; V ist ein vektorraum, U,W Unteräume

zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} (U \cup W) \text{Unterraum} <=> (U \subseteq V) \vee (V \subseteq U) \end{eqnarray*}$

wage dich erst mal an die einfache richtung aus der rechten aussage das linke zu folgern.

die andere richtung geht tatsächlich gut mit widerspruchbeweis.
was gilt denn, wenn weder U TM V noch V TM U ist?

22.03.2005, 16:22

Snooper

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hallo, danke das du auf meine frage eingegangen bist,aber ich komme echt nicht weiter was muss ich da jetzt konkret zeigen.

22.03.2005, 17:42

JochenX

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du musst eine äquivalenz zweier aussagen zeigen.
die nenne ich jetzt mal A und B.

also zeigst du einmal: A => B
und danach in einem getrennten beweis: B => A

damit dann zusammen: A <=> B

versuchs wie schon gesagt erst mal mit der sehr einfachen richtung "<="

22.03.2005, 17:49

Snooper

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permutation
kennst du dich eigentlich auch mit zyklendarstellungen aus?

22.03.2005, 17:52

JochenX

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wenn du eine frage hast, die gar nicht zum thema gehört, dann mach bitte einen neuen thread auf.
hier bitte nur zum thema oder zu themenverwandten fragen, sobald die obige geklärt ist.
sonst wird das verwirrend.

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22.03.2005, 19:53

Snooper

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versuche es nach zu rechnen aber irgendwie komme ich nicht zum ergebnis...weisst du das ergebnis schon?

22.03.2005, 19:59

JochenX

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hast du probleme mit dieser richtung? "<="
also die sollte doch gehen...
was ist denn U vereinigt W, wenn eines eine teilmenge des anderen ist?

23.03.2005, 20:36

Snooper

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keine ahnung muss ich das z.B x element von a bzw b machen?so die richtung und dann weiter

23.03.2005, 20:50

JochenX

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Zitat:

was ist denn U vereinigt W, wenn eines eine teilmenge des anderen ist?

mach dir erst mal das klar.....
wenn dus so nicht siehst, dann mal dir ein mengenschaubild!

was bedeutet teilmenge? was vereinigt?

23.03.2005, 21:05

Snooper

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vereinigung bedeutet dass zb die vereinigung von X und Y aus all den elementen besteht, die in X oder in Y liegen

eine menge Y heißt teilmenge der menge X, falls jedes Element von Y auch ein Element von X ist...und was mache ich nun betreff aufgabe

24.03.2005, 09:15

Tobias

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<=: Frage dich, welche Menge durch die Vereinigung entsteht, wenn du die Nebenbedingung mit den Teilmengen beachtest.

=>: Nimm an, dass die rechte Seite nicht gilt (Negation nach DeMorgan beachten). Pick dir geschickt zwei Elemente aus beiden Mengen und versuche einen Widerspruch zur Abgeschlossenheit einer Vektorraum-Operation zu finden.

24.03.2005, 09:29

Leopold

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Wenn man eine Alternative

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \ \Rightarrow \ \mathfrak{B} \vee \mathfrak{C} \end{eqnarray*}$

nachweisen will, kann man das stets so machen:

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \wedge \neg \mathfrak{B} \ \Rightarrow \ \mathfrak{C} \end{eqnarray*}$

Hier ist, wenn $\begin{eqnarray*} U,W \end{eqnarray*}$ Unterräume des Vektorraumes $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ bezeichnen:

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \ = \ \text{"} U \cup W \text{ ist Unterraum"} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathfrak{B} \ = \ \text{"} U \subseteq W \text{"} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathfrak{C} \ = \ \text{"} W \subseteq U \text{"} \end{eqnarray*}$

Du mußt also zeigen:

Wenn $\begin{eqnarray*} U \cup W \end{eqnarray*}$ Unterraum ist, aber $\begin{eqnarray*} U \not \subseteq W \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} W \subseteq U \end{eqnarray*}$ .

Daß $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ keine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist, bedeutet übrigens, daß es ein $\begin{eqnarray*} u_0 \in U \end{eqnarray*}$ gibt, welches nicht zu $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ gehört, also $\begin{eqnarray*} u_0 \not \in W \end{eqnarray*}$ .

24.03.2005, 16:42

Snooper

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ist das jetzt somit gezeigt was du da erklärt hast??ich kann das nur verstehen wenn ich eine lösüng mir anschaue.dann kann ich das alles nachvoll ziehen?

24.03.2005, 17:06

Leopold

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Ich schreibe dir jetzt einmal einen vollständigen Beweis auf, denn alleine kommst du anscheinend nicht darauf.

Betrachten wir also zwei Unterräume $\begin{eqnarray*} U,W \end{eqnarray*}$ eines Vektorraumes $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Voraussetzungen

(1) $\begin{eqnarray*} U \cup W \end{eqnarray*}$ ist Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} U \not \subseteq W \end{eqnarray*}$

Behauptung

$\begin{eqnarray*} W \subseteq U \end{eqnarray*}$

Beweis

Nach (2) gibt es ein $\begin{eqnarray*} u_0 \in U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u_0 \not \in W \end{eqnarray*}$ .
Wir zeigen nun, daß ein beliebiges $\begin{eqnarray*} w \in W \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \in U \end{eqnarray*}$ ist, daß also $\begin{eqnarray*} W \subseteq U \end{eqnarray*}$ gilt.

Greifen wir uns also ein $\begin{eqnarray*} w \in W \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} u_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ sind Elemente von $\begin{eqnarray*} U \cup W \end{eqnarray*}$ . Nach (1) ist dann auch $\begin{eqnarray*} u_0 + w \in U \cup W \end{eqnarray*}$ (Abgeschlossenheit wegen Unterraumeigenschaft). Es muß also $\begin{eqnarray*} u_0 +w \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ oder in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ liegen.

Wäre jetzt $\begin{eqnarray*} u_0 + w \in W \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} u_0 + w = w' \end{eqnarray*}$ mit einem $\begin{eqnarray*} w' \in W \end{eqnarray*}$ , so folgte aus dieser Gleichung $\begin{eqnarray*} u_0 = w' - w \in W \end{eqnarray*}$ (Abgeschlossenheit wegen Unterraumeigenschaft von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ).
Das ist aber unmöglich, denn (siehe Anfang des Beweises) es ist $\begin{eqnarray*} u_0 \not \in W \end{eqnarray*}$ .

Dann bleibt nur noch die Möglichkeit $\begin{eqnarray*} u_0 + w \in U \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} u_0 + w = u' \end{eqnarray*}$ mit einem $\begin{eqnarray*} u' \in U \end{eqnarray*}$ . Hieraus folgt: $\begin{eqnarray*} w = u' - u_0 \in U \end{eqnarray*}$ (Abgeschlossenheit wegen Unterraumeigenschaft von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ).

Damit ist gezeigt: $\begin{eqnarray*} W \subseteq U \end{eqnarray*}$ .

28.03.2005, 13:27

JochenX

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@leo: diesen beitrag oben sehe ich noch mit latexfehlern.
könntest du den code noch editieren? oder liegt das mal wieder nur am browser? wenn ja, dann bitte trotzdem editieren..... Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.03.2005, 16:33

Snooper

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hallo leopold wie würde es ausschauen wenn U im Durchschnitt von W liegt??

29.03.2005, 17:40

JochenX

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was ist denn der durchschnitt von W?
denke erst mal etwas nach, bevor du fragst....

30.03.2005, 22:44

Snooper

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wenn ich das wissen würde würde ich ja nicht fragen oder??kann mir wirklich keiner helfen?

31.03.2005, 00:06

Tobias

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Loads meint, dass ein Durchschnitt einer Menge nicht konventionell definiert ist.

Es gibt den Schnitt von zwei Mengen $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ in dem alle Elemente liegen die sowohl in A als auch in B liegen.

Also präzisiere deine Frage nochmal. Das ist kein Grund krabatzig zu werden auch wenn sich Loads da vielleicht ein bisschen rüpelhaft verhalten hat. geschockt

geschockt

31.03.2005, 01:11

JochenX

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hmmm, wer das als rüpelhaft sehen will, der solls halt so sehen.
ich erkenne nur, das bei snooper arge grundlegende verständnisprobleme sind, die hier scheinbar sogar in grundlegendster mengentheorie auftreten.

also mein rat:
erst mal altes wiederholen, dann dich an diese aufgabe wagen.....

31.03.2005, 10:27

Leopold

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Zitat:

Original von LOED
@leo: diesen beitrag oben sehe ich noch mit latexfehlern.
könntest du den code noch editieren?

Gerne. Was ist denn falsch?

31.03.2005, 11:06

JochenX

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so sieht das bei mir aus...

mfg jochen

31.03.2005, 11:30

Leopold

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Da vermute ich, daß das Anführungszeichen " nicht verwendet werden darf, obwohl es unter den ersten 128 ASCII-Zeichen ist (Nr. 34). Bei mir sieht der Bildschirm so aus.

31.03.2005, 11:39

JochenX

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okay, danke, liegt dann wohl doch auch irgendwie am firefox-browser mit....
auf jeden fall ist jetzt alles klar.

mfg jochen

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