Kettenregel im Mehrdimensionalen

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22.03.2005, 16:14	pipi langstrumpf	Auf diesen Beitrag antworten »
Kettenregel im Mehrdimensionalen Hallo, ich habe da so meine Probleme mit der Kettenregel im Mehrdimensionalen. Ich muss einige Aufgaben lösen und ich weiß nicht, ob meine Lösungen richtig sind. Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen. 1) g(t)=f(cost, sint) g'(t)= (-sint, cost)*t (df/dx df/dy) 2) g(t)= f(2t,3t) g'(t)= df/dx mal 2 + df/dy mal 3 Wäre super, wenn sich das mal jemand anschauen könnte und mir diese Kettenregel näher bringt. Danke
22.03.2005, 16:46	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kettenregel im Mehrdimensionalen Hallo pipi, wenn mir in solchen Fällen etwas unklar ist, zeichne ich immer ein Mengendiagramm mit den gegebenen Abbildungen (siehe Anhang). Dann wird es plötzlich übersichtlich. Zu 1): So, wie ich das lese, ist es falsch. Zu 2): Richtig! Noch Fragen? Gruss yeti
22.03.2005, 16:54	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Also erstmal das formale: die Kettenregel besagt, wenn eine Funktion $\begin{eqnarray} g(t) = f(x(t)) = f(x_1(t), x_2(t), x_3(t), ..., x_n(t)) \end{eqnarray}$ gegeben ist, hat sie an der Stelle $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ die Ableitung (partielle Differenzierbarkeit, ... vorausgesetzt) $\begin{eqnarray} g'(t_0) &= f_{x_1}(x_0)\dot x_1(t_0) + f_{x_2}(x_0)\dot x_2(t_0) + ... + f_{x_n}(x_0)\dot x_n(t_0) \\ &= \nabla f(x_0)^T\dot x(t_0) \end{eqnarray}$ Somit ist dein zweite Beispiel schon mal richtig. das erste nicht Was hast du denn für Schritte?? PS: @Mods das passt wohl besser in "Höhere Mathematik" .
22.03.2005, 17:12	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
@iammrvip: Bin voll deiner Meinung bez. der Ableitung. Aber könntest du mich mal aufklären, wie die Resultate von pipi in LaTeX zu interpretieren sind? Offenbar habe ich da etwas falsch interpretiert. Danke! Gruss yeti
22.03.2005, 17:22	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann haben wir es wohl beide falsch verstanden, oder Ich danke bald so: $\begin{eqnarray} g(t) = f(2t,3t) \Rightarrow g'(t) = \frac{\partial f}{\partial x}\cdot 2 + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot 3 \end{eqnarray}$
22.03.2005, 17:27	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich auch! Aber so hat es pipi, wie ich es sehe geschrieben. Aber du sagtest, 1) ist richtig, 2) falsch. Was stimmt nun? Gruss yeti
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22.03.2005, 17:32	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, sorry ich hab die Beispiele beim Eintippen verdreht ich nehme alles zurück...entschuldige. Hab mich so auf die Definition konzentriert... Hab's gleich geändert.
22.03.2005, 17:37	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, iammrvip! So sind wir uns also einig . Gruss yeti
22.03.2005, 18:58	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ eine offene Teilmenge des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ ist und man $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} x = (x_1,x_2,\ldots,x_n) \in D \end{eqnarray}$ abhängige reellwertige Funktionen $\begin{eqnarray} f_1,f_2,\ldots,f_m \end{eqnarray}$ zu einer Funktion $\begin{eqnarray} f = (f_1,f_2,\ldots,f_m) \end{eqnarray}$ mit Werten in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^m \end{eqnarray}$ zusammenfaßt, und wenn man weiter bei geeigneten Differenzierbarkeitsvoraussetzungen $\begin{eqnarray} f'(x) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ definiert, dann lautet die Kettenregel formal wie im Eindimensionalen, nämlich $\begin{eqnarray} (g \circ f)'(x) = g' \left( f(x) \right) \cdot f'(x) \end{eqnarray}$ Der Multiplikationspunkt steht für die Matrizenmultiplikation. So hat man hier bei $\begin{eqnarray} g(t) = f(\cos{t}, \sin{t}) \end{eqnarray}$ als äußere Funktion die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , abhängig von $\begin{eqnarray} x=(x_1,x_2) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} f'(x) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} & \frac{\partial f}{\partial x_2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und als innere Funktion $\begin{eqnarray} \varphi(t) = (\varphi_1(t),\varphi_2(t)) = (\cos{t},\sin{t}) \end{eqnarray}$ , abhängig von der reellen Variablen $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \varphi'(t) = \begin{pmatrix} \varphi_1'(t) \\ \varphi_2'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sin{t} \\ \cos{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nach der Kettenregel gilt daher: $\begin{eqnarray} g'(t) = f' \left( \varphi(t) \right) \cdot \varphi'(t) = \left. \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} & \frac{\partial f}{\partial x_2} \end{pmatrix} \right\|_{x = \varphi(t)} \cdot \begin{pmatrix} -\sin{t} \\ \cos{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = - \sin{t} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_1}(\cos{t},\sin{t}) + \cos{t} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_2}(\cos{t},\sin{t}) \end{eqnarray}$
23.03.2005, 19:30	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
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28.03.2005, 19:05	Pipi Langstrumps	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen, vielen Dank für eure Hilfe. Hat mich wirklich sehr weitergebracht. Danke

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