(echte?) quadratische Gleichung...

22.03.2005, 18:53

Papa-Midnight

(echte?) quadratische Gleichung...

Hi,

da meine Lösung untenstehender Gleichung wohl kompletter Mist war, habe ich sie gelöscht.

$\begin{eqnarray*} (\frac{x-2}{3}-1)*(3+\frac{x+1}{3})=0 \end{eqnarray*}$

...

22.03.2005, 19:01

Egal

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RE: (echte?) quadratische Gleichung...

Zitat:

Original von Papa-Midnight
Hi,

ich habe gerade eine Gleichung ausgerechnet, und möchte von euch eigentlich nur wissen, ob ich das richtig gemacht habe.

Die Gleichung lautet...

$\begin{eqnarray*} (\frac{x-2}{3}-1)*(3+\frac{x+1}{3})=0 \end{eqnarray*}$

... und so habe ich erechnet:

Warum hast du hier nicht die Faktoren einzeln betrachtet?

Zitat:

1. $\begin{eqnarray*} (\frac{x-2}{3}-1)*(3+\frac{x+1}{3})=0 \end{eqnarray*}$ (*3) -->

hier hast du in Wirklichkeit *9 gerechnet

Zitat:

2. $\begin{eqnarray*} (x-2-3)*(9+x+1)=0 \end{eqnarray*}$ ...ist zusammengefasst: $\begin{eqnarray*} (x-5)*(10+x)=0 \end{eqnarray*}$ -->

3. $\begin{eqnarray*} x*10+x*x+-5*10+-5*x \end{eqnarray*}$ -->

Nach dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen komme ich dann auf folgende quadratische Gleichung:

$\begin{eqnarray*} x^2+5x-50=0 \end{eqnarray*}$

Anschließend habe ich mit der "pq-Formel" wie folgt weitergemacht:

$\begin{eqnarray*} x(1)=-\frac{5}{2}+\sqrt{\frac{5^2}{4}}-50=-50 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x(2)=-\frac{5}{2}-\sqrt{\frac{5^2}{4}}-50=-55 \end{eqnarray*}$

Meiner Berechnung nach hat "x" also folglich die Werte "-50" oder "-55".

Ist das jetzt richtig? Falls nicht, wo liegt mein Fehler?

Vielen Dank m Voraus!

Du hast die P-Q-Formel falsch angewandt.

23.03.2005, 14:06

Papa-Midnight

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RE: (echte?) quadratische Gleichung...
Wie muss ich denn beim Ausmultiplizieren der Brüche verfahren?

Hier nochmal die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} (\frac{x-2}{3}-1)*(3+\frac{x+1}{3})=0 \end{eqnarray*}$

Gelten bei Gleichungen mit einer Variablen im Zähler die Gleichen Regeln wie bei der normalen Bruchrechnug? Also beispielsweise:

$\begin{eqnarray*} \frac{x-2}{3}*\frac{x+1}{3}=\frac{x^2-2}{9} \end{eqnarray*}$ Oder wie verhält sich das? Welche Regeln gelten beim kürzen solcher Brüche?

Ich wäre für ein (kleines) Beispiel wirklich dankbar...

23.03.2005, 14:10

derkoch

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deine rechnung ist falsch!
$\begin{eqnarray*} (x-2)*(x+1)\neq x^2-2 \end{eqnarray*}$
der nenner ist ok!

$\begin{eqnarray*} (x-2)*(x+1)= x*x+x*1+(-2)*x+(-2)*1=x^2-x-2 \end{eqnarray*}$
jeder summand der einen klammer wird mit jedem summmand der anderen klammer multipliziert!

23.03.2005, 14:12

4c1d

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RE: (echte?) quadratische Gleichung...

Zitat:

Original von Papa-Midnight
Gelten bei Gleichungen mit einer Variablen im Zähler die Gleichen Regeln wie bei der normalen Bruchrechnug?

ja.
allerdings ist

Zitat:

Original von Papa-Midnight
$\begin{eqnarray*} \frac{x-2}{3}*\frac{x+1}{3}=\frac{x^2-2}{9} \end{eqnarray*}$

trotzdem falsch, da $\begin{eqnarray*} (x-2) *(x+1) \neq x^2 -2 \end{eqnarray*}$ ist. Das müsstest du nochmal nachrechnen

edit : allerdings kannst du deine obige Aufgabe auch lösen, indem du die Terme in den beiden Klammern separat vereinfachst, so dass du in beiden Klammern auf einen Term $\begin{eqnarray*} ax+b \end{eqnarray*}$ kommst; dann kannst du jeweils das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ausklammern und kannst dann die Werte ablesen, für die das gesamte Produkt = 0 ist.

23.03.2005, 14:13

klarsoweit

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RE: (echte?) quadratische Gleichung...

Zitat:

Original von Papa-Midnight
Gelten bei Gleichungen mit einer Variablen im Zähler die Gleichen Regeln wie bei der normalen Bruchrechnug? Also beispielsweise:

$\begin{eqnarray*} \frac{x-2}{3}*\frac{x+1}{3}=\frac{x^2-2}{9} \end{eqnarray*}$ Oder wie verhält sich das? Welche Regeln gelten beim kürzen solcher Brüche?

Natürlich gelten dieselben Regeln. Trotzdem muß man richtig rechnen. Also:
$\begin{eqnarray*} \frac{x-2}{3}*\frac{x+1}{3}=\frac{x^2 - x - 2}{9} \end{eqnarray*}$
Aber das Ausmultiplizieren ist nicht nötig. Du hast ein Produkt von 2 Termen mit dem Ergebnis Null. Was kann man dann über die einzelnen Faktoren (Terme) sagen?

23.03.2005, 15:33

Papa-Midnight

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RE: (echte?) quadratische Gleichung...
Leider traurig

habe ich keine Ahnung, was man über die beiden Faktoren (Terme) sagen kann, außer, dass die bei der Multiplikation Null ergeben. Wieso ist das Ausmultiplizieren (deshalb) nicht nötig?

Das es nach der Multiplikation $\begin{eqnarray*} \frac{x-2}{3}*\frac{x+1}{3}=\frac{x^2-x-2}{9} \end{eqnarray*}$ heißen muss, kann ich nachvollziehen. Ich habe mich bei meinem vorigen Ergebnis dummerweise verrechnet...

Nach "4a1d´s" Vorschlag könnte ich die Terme auch seperat vereinfachen, was ist damit gemeint? Sollen die Terme vielleicht mit drei multipliziert werden, um die Brüche aufzulösen? Ich weiß es leider nicht genau...

23.03.2005, 15:37

klarsoweit

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RE: (echte?) quadratische Gleichung...
Ich gebe dir jetzt eine Rätselaufgabe: Ich habe mir zwei Zahlen ausgedacht, die miteinander multipliziert die Zahl Null ergeben. Was kannst du über mindestens eine von meinen Zahlen sagen?

23.03.2005, 15:40

derkoch

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du hast hier einen bruch und der ganze term soll ja null werden; ein bruch kann nur null werden , wenn der zähler null wird, und der nenner darf nicht null werden!

dh. es ist nur nötig daß man den zähler sich anschaut: $\begin{eqnarray*} \frac{x-2}{3}*\frac{x+1}{3}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-2)*(x+1)=0 \end{eqnarray*}$
hier hast du ein produkt; und ein produkt wird dann null, wenn einer der faktoren null wird!
dh. du brauchst dir nur gedanken zu machen, wann ((x-2) null wird und wann (x+1) null wird! es ist halt einfacher und schneller als wenn du das ganze ausmultiplizierst!

23.03.2005, 15:51

klarsoweit

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RE: (echte?) quadratische Gleichung...
@derkoch: Die ursprüngliche Aufgabe hieß nur:
$\begin{eqnarray*} (\frac{x-2}{3} - 1) * (3 + \frac{x+1}{3}) = 0 \end{eqnarray*}$
Ansonsten bleibt es bei der Überlegung: Wann wird das Produkt aus Faktoren Null?

23.03.2005, 15:58

derkoch

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axo! oki hast recht hab mich eben nur auf die fragestellung bezogen wann das produkt null wird.

24.03.2005, 14:25

Papa-Midnight

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Es ist soweit Augenzwinkern

klar, dass wenn das Produkt gleich Null ist, auch einer der Fakroren Null sein muss...

Aber woher (bitte nicht für die wahrscheinlich ziemlich dumme Frage schlagen) weiß ich, ohne die Klammern auszumultiplizieren, welcher Faktor gleich Null ist?

Könnte sich möglicherweise irgend jemand erbarmen, und mir den Lösungsweg verraten?

24.03.2005, 14:31

klarsoweit

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Man macht eine simple Fallunterscheidung:
Fall1: $\begin{eqnarray*} \frac{x-2}{3} - 1 = 0 \end{eqnarray*}$
Fall2: $\begin{eqnarray*} 3 + \frac{x+1}{3} = 0 \end{eqnarray*}$
Jetzt kann man in jedem dieser Fälle das x ausrechnen und hat am Ende 2 mögliche Lösungen.

24.03.2005, 14:55

uschidt

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Bei "Fall 1" von klarsoweit multiplizierst du die ganze Gleichung mit 3, damit der Bruch wegfällt und kriegst dann raus:

(x - 2) - 3 = 0
x(eins) = 5

Genau so bei "Fall 2" x (zwei) ausrechnen.

Liebe Grüße
Uschi

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