Vollständiges Differential

22.03.2005, 20:36	Josephine	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständiges Differential HI! Man bestimme das vollständige Differential der folgenden Funktion. In welchem Punkt (x,y) ist dieses Differential nicht definiert? $\begin{eqnarray} z(x,y)=arctan \frac{y}{x} \end{eqnarray}$ Kann damit irgendwie überhaupt nichts anfangen!!!!! muss wohl ein bißchen zuviel geschlafen haben.... Ich soll irgendwie eine Ableitung machen. So viel weiß ich schon mal. Aber wie geht dieses ? Brauche es für meine nächste Klausur und check' absolut nichts!!! Josephine
22.03.2005, 23:32	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständiges Differential @Mods: Diese Frage gehört eigentlich in die Analysis. Hallo Josephine, Sei $\begin{eqnarray} f(x,y)= arctan\frac{y}{x} \end{eqnarray}$ . Das ist eine Funktion $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \backslash\{(x,y)\in \mathbb R ^2 \,\vert x= 0 \}\,\,->\mathbb R \end{eqnarray}$ (die Division durch Null ist nicht definiert). Geometrisch gesehen bedeutet dies eine krumme Fläche im $\begin{eqnarray} \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ (siehe Skizze im Anhang)! Das vollständige Differential im Punkt $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) \end{eqnarray}$ ist definiert durch $\begin{eqnarray} df= f_x\cdot dx+ f_y\cdot dy= \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot dx + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\cdot dy \end{eqnarray}$ . Analytisch gesehen ist das eine lineare Approximation der Funktion f im Punkt $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) \end{eqnarray}$ . Damit berechnest du approximativ die Änderung der Funktion in der Umgebung des Punktes $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) \end{eqnarray}$ , wenn du dich in der x-Richtung um $\begin{eqnarray} dx \end{eqnarray}$ und in der y-Richtung um $\begin{eqnarray} dy \end{eqnarray}$ fortbewegst. Geometrisch gesehen bewegst du dich nicht auf der exakten krummen Fläche, sondern auf der Tangentialebene der Fläche im Punkt $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) \end{eqnarray}$ . Das vollständige Differential dient also dazu, lokal das Änderungsverhalten einer Funktion zu untersuchen. Ich hoffe, ich konnte dir damit das Verständnis des vollständigen Differentials erleichtern. Rechnen kannst du selber . Gruss yeti
23.03.2005, 10:48	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben nach Höhere Mathematik

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