Exponentialgleichung

24.03.2005, 17:03	Nadine1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialgleichung Hallo ich habe hier ne Exponentialgleichung, bei der ich zwar die Lösung weis, aber ich einfach nicht weis, wie ich rechnerisch darauf komme, dass x = 0 ist. Ich kann zwar Exponentialgleichungen lsen, aber diese hier nicht. Die Gleichung ist: $\begin{eqnarray} 28^{-3x} + 4 + 8^{x} = 7 \end{eqnarray}$ das forme ich um zu: $\begin{eqnarray} 28^{-3x} + 8^{x} = 3 \end{eqnarray}$ und dann hab ich mir gedacht, dass ich vielleicht 8^x ausklammere, um anschließend logarithmieren zu können, aber ich weis nicht was ich für das ? einsetzen soll bzw. kann? Es müsste ja, wenn ich 8^x ausklammere 8^(-4x) sein, was mir ja aber nicht weiterhilft. $\begin{eqnarray} 8^{x}(2? + 1) = 3 \end{eqnarray}$
24.03.2005, 17:52	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde zwischendurch setzen: $\begin{eqnarray} 8^x=z \text{ mit } 8^{3x}=z^3 \text{ und } 8^{-3x}=\frac{1}{z^3} \end{eqnarray}$ und die entstehende Gleichung erst nach z auflösen, und danach nach x. Hier ein Bildchen für die Gleichung f(z)=0:
24.03.2005, 18:20	Nadine1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann komm ich durch umformen auf: $\begin{eqnarray} z^{4} - 3z^{3} + 2 = 0 \end{eqnarray}$ und müsste dann Polynomdivision machen. z = 1 damit komm ich auf: $\begin{eqnarray} z^{4} - 3z^{3} + 2 : (z - 1) = z^{3} - 2z^{2} - 2z - 2 \end{eqnarray}$ , und das könnte man dann noch weiterführen. Durch das zurück substituieren komme ich auf 8^x = 1 und somit ist x = 0, was ich ja aber wieder nicht berechnet habe, sondern nur durch Probieren rausgefunden habe. Es muss doch noch ne andere Möglichkeit geben, um das zu berechnen. In der Schule werden gerade Exponential- und Logarithmusgleichungen durchgenommen, und ich denke nicht, dass bei dieser Aufgabe substituiert werden soll. Ich weis zwar, wie ich das rechnen und erklären kann, aber ich weiß genau, wenn ich versuche, dass meinen Nachilfeschülerinnen zu erklären, verstehen sie das nicht. Danke trotzdem für die Idee
24.03.2005, 18:38	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass z=1 eine Lösung der Gleichung ist, ist ja wohl klar, weil man das an der Gleichung sieht und sofort durch Einsetzen erkennt. Jetzt ist also 8^x=1 bekannt, und das x willst du jetzt ausrechnen. Dazu nimmst du auf beiden Seiten den Logarithmus und bildest: xlog(8) = log(1), also x = log(1)/log(8) Jetzt bestimmst du Logarithmus von 1 und den von 8 und teilst beide durcheinander, um das x zu erhalten, du erhältst erwartungsgemäß x=0. Und die Substitution habe ich nur gemacht, um eine etwas übersichtlichere Gleichung zu erhalten. Außerdem erkennt man so besser, dass bei z knapp unter 3 eine weitere Lösung ist. Dazu müsstet du die aus der Polynomdivision erhaltene Gleichung 3. Grades nach z auflösen, was leider nicht so ganz einfach ist. Hast du z irgendwie errechnet, erhältst du das zugehötige x wieder aus 8^x=z bzw. nach Übergang zu den Logarithmen aus xlog(8)=log(z).

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