Verknüpfungstabellen

24.03.2005, 17:56

Zitronenlimo

Verknüpfungstabellen

Also, ich habe folgendes Problem:

innerhalb von drei Stunden habe ich mich so gut es eben ging in das Thema „mathematische Körper“ hineingelesen (mit eher minderem Erfolg);
jetzt habe ich folgende Aufgabe vorliegen (s.Graphik; das sollte eine Darstellung für einen Körper sein und ich muss erst mal nachvollziehen warum, sonst komm ich nicht weiter))

+ a b c
a a b c
b b c a
c c a b

* a b c
a a a a
b a b c
c a c b

im Bezug auf die Additionstabelle ist mir klar, dass:

a+a = a; a+b = b+a = a und a+c = c+a = a , weil a das neutrale Element ist

unklar ist mir jedoch, warum

b+c = c+b = a und c+c = b

im Bezug auf die Multiplikationstabelle ist mir klar, dass

...a*a = a*b = b*a = a*c = c*a = a , weil a ja immer noch den Wert (???) Null hat

...b*b = b und c*b = b*c = c , weil b multiplikatives Neutrales mit dem Wert 1 ist

Warum ist aber

c*c = b

Vermutung: das hat was mit dem Inversen von c zu tun...

Wann rechne ich denn jetzt aber mit nem Inversen und wann nicht und wo kommt es eigentlich her?

Ich bin schon mal im Voraus dankbar für jeden Rat (aber bitte mit den Antworten nicht noch mehr Verwirrung stiften... schön für Dumme erklären =) )

24.03.2005, 18:06

Anirahtak

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Hallo,

nur noch mal dass ich er richtig verstanden habe: du hast einen Körper mit 3 Elementen a, b und c, wobei a das Neutrale bzgl. Addition und b das Neutrale bzgl. Multiplikation ist, richtig?

Zur Addition:

weil a das Neutrale ist hast du sofort:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7:	+ \| a b c ---------------- a \| a b c b \| b c \| c

Ann. b+b=b=a+b. Dann kann ich -b auf beiden Seiten addieren und erhalte b=a - Widerspruch.

Ann. b+b=a. Dann muss b+c=c sein [denn b+c=a => b=c, b+c=b => a=b beides führt zum Widerspruch]. Daraus folgt aber b+c=a+c=c => b=a Widerspruch.

Also bleibt nur noch b+b=c übrig.

Naja so kannst du das in jedem Kästchen machen.

Gruß
Anirahtak

26.03.2005, 14:34

Zitronenlimo

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okay, das ist doch schon mal was, dankeschön

wobei mir das ja noch nicht so einleuchtet

Zitat:

Ann. b+b=a. Dann muss b+c=c sein

und was mach ich mit der Multiplikationstabelle?

28.03.2005, 13:33

JochenX

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Zitat:

Original von Zitronenlimo
wobei mir das ja noch nicht so einleuchtet

Zitat:

Ann. b+b=a. Dann muss b+c=c sein

mal dir mal (mit a als neutralelemnt deine tabelle mit diesem wissen auf.
und dann beachte, dass das eine (abelsche) gruppe bezüglich "+" sein muss und beachte auch den satz von kayleigh (?)
da ich nicht genau weiß, ob der name stimmt, hier noch mal eine zusammenfassung: "bei einer gruppe muss in der verknüpfungstafel in jeder zeile/spalte jedes element genau einmal stehen"

mfg jochen

28.03.2005, 17:02

quarague

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ansonsten ist der Sinn einer Additions- und Multiplikationstabelle damit diese Relationen festzulegen, man kann also die Felder beliebig festlegen solange dabei die entsprechenden Körper und Gruppenaxiome beachtet werden. Bei einem Körper mit 3 Elementen gibt es dafür nur eine Möglichkeit aber bei mehr Elementen gibt es etliche Varianten. Dann legst du mit der Additions und Multiplikationstabelle fest, welchen Körper mit entsprechend vielen Elementen du genau meinst.

28.03.2005, 21:50

Zitronenlimo

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okay
noch mal zusammenfassen:

in der additionstabelle muss in jeder spalte und zeile, jedes element einmal vorkommen und zusätzlich muss es sich um eine abelsche gruppe handeln (d.h. es muss das vertauschungsgesetz gelten, oder?)...

ich glaub das bekomm ich jetzt hin, auch mit mehr als drei elementen

aber es tun sich immer mehr fragen auf:

erst mal immernoch die multiplikationstabelle
(gerne auch mit mehr als drei elementen, wenns da einfacher zu erklären ist)

und dann, was ist denn jetzt ein körper?
ist das ne menge oder irgendwas anderes unvorstellbares?
was definiere ich denn da genau?

28.03.2005, 23:38

JochenX

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Zitat:

und dann, was ist denn jetzt ein körper?
ist das ne menge oder irgendwas anderes unvorstellbares?
was definiere ich denn da genau?

gugg dir mal den link an unten....
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=11514

29.03.2005, 00:21

Zitronenlimo

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dann ist ein körper also einfach etwas "dahindefiniertes"
da muss ich mich halt dran gewöhnen

aber wozu ist er dann gut?
was stellt man mit ihm an?

29.03.2005, 00:23

JochenX

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ein schönes bekanntes beispiel für einen körper sind die reellen zahlen mit den bekannten verknüpfungen + und *.
was fängt man damit denn an!?

RECHNEN, und genau das kannst du mit anderen körpern auch...

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