Differentialgleichungen: Systeme

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Protector1982 Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichungen: Systeme
Finden Sie die allgemeine reellwertige Lösung von für die gegebenen Matrizen A. Lösen Sie die Anfangswertprobleme

Eine der Aufgaben ist:


Es gibt da wohl auch einen Satz, von wegen, wenn die Eigenwerte komplex Konjugiert sind muss man nur einen Betrachten etc...

Kann da jemand was dazu sagen?
Wie man Aufgaben dieses Typs löst ist mir schon klar, nur was macht man halt, wenn die Eigenwerte Imaginär sind?!
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichungen: Systeme
Nach Diagonalisierung mit

und , erhältst du ja , was du komponentenweise auflösen kannst: als komplexe Dgl. Die allgemeine Lösung ist bekanntlich . Wenn nun mit reellen Werten vorliegt, kannst du das dann natürlich auch so schreiben:



Zu reellen kannst du hier aber noch nicht übergehen, da ja in der Transformationsmatrix auch noch "echt" komplexe Werte stecken können, die ja bei der Rücktransformation wirksam werden! Aus deiner Anfangsbedingung u(0) kriegst du dann aber die richtigen raus!
Protector1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Arthur Dent bist du Mathe Prof oder warum kennst du dich mit so vielen Themen aus? (Mal so aus interesse.)

Kannst du die Aufgabe mal nachrechen um zu gucken ob ich es verstanden habe?


Eigenwerte:


Da die Eigewerte komplex konjugiert sind muss man nur einen betrachten.
Wähle
Eigenvektor:
Ich komme hier allerdings auf zwei verschiedene Eigenvektoren, je nach dem ob ich oder gleich setze. Warum?!?
Ich bekomme hier oder halt
Ich rechne weiter mit

ist dass so richtig?
Danke schön
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Protector1982
Arthur Dent bist du Mathe Prof oder warum kennst du dich mit so vielen Themen aus? (Mal so aus interesse.)
Danke schön

http://www.matheboard.de/profile.php?userid=4114 , Rubrik "Beruf" - sollte als Erklärung reichen. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Protector1982
Ich komme hier allerdings auf zwei verschiedene Eigenvektoren, je nach dem ob ich oder gleich setze. Warum?!?
Ich bekomme hier oder halt

Der Grund ist , also sind beide Vektoren über dem Körper der komplexen Zahlen linear abhängig - kein Widerspruch also.

Zitat:
Original von Protector1982

ist dass so richtig?

Wenn ich nur wüsste, was dein B darstellen soll. verwirrt

Ich sehe es eher so (mit meinen Bezeichnungen von oben):



Die Rücktransformation ist (mit einem Eigenvektor des zweiten Eigenwerts )



Zur Bestimmung der komplexen Konstanten brauchst du noch Anfangsbedingungen wie z.B. u(0):
ergibt , , also

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