Linear Unabhängig oder Erzeugendensystem?

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Snooper Auf diesen Beitrag antworten »
Linear Unabhängig oder Erzeugendensystem?
Hallo,

ich habe ein Problem, undzwar folgende Aufgabe.....

Aufgabenstellung:
Welche der Teilmengen eines Vektorraumes sind linear unabhängig bzw. ein Erzeugendensystem?
1. {1} in R
2. {(2,1,5),(18,9,54)} in R(hoch3)
3. {v,w} in R(hoch2) mit v ungleich w
4. {(pi,pi(hoch2),pi(hoch3)), (o,pi(hoch4),pi(hoch5)),(0,0,pi(hoch6)} in R(hoch3) (pi=3,14159...) ??

würde mich über eure Hilfe freuen.
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wie sind die Begriffe denn definiert und was sind deine Überlegungen dazu?

Gruß
Anirahtak
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich weiss nur, das man die 2. te mit sklaren beweisen kann...

a * ( 2,1,5) + b * (18,9,54)= 0 die in klammer stehen sollten
untereinander stehen!!!!!!!
a,b elemente aus Körper

wenn a=b=0 ergibt dann ist es linear unabhängig.


Basis=LInear unabhängig + Erzeugendensystem


was nun das wars was ich wusste...
PK Auf diesen Beitrag antworten »

hm... soll die - Koordinate 54 oder 45 sein? Denn das hätte auswirkungen auf die lineare Ab- bzw. Unabhängigkeit der Vektoren.
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

diesen Ansatz

musst du für die lineare Unabh./Abh. immer machen, wobei die v_i eben die gegebenen Vektoren sind und die Alpha's Skalare. Wenn
die einzige Lösung ist, dann sind sie lin. unabh.

Deine Gleichung kannst du auch umformen:

2a+18b=0
a+9b=0
5a+54b=0

Jetzt hast du ein Gleichungssystem, das du Lösen musst.

Bei den anderen machst du das genauso.

Gruß
Anirahtak
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann natürlich ganz korrekt sein und schreiben:



bzw.



Manche Lehrer sind da furchbar pingelig....
 
 
mountainflower Auf diesen Beitrag antworten »

Die folgenden Tatsachen solltest Du Dir vielleicht nochmal durch den Kopf gehen lassen, da sie bei solchen Aufgaben meist eine grosse Hilfe sind:

- Jede Basis von einem n-dimensionalen Raum muss n Elemente besitzen, ein Erzeugendensystem dementsprechend mindestens n Elemente.

- Wenn eine Teilmenge eines n-dimensionalen Raums mehr als n Elemente besitzt, so muessen diese linear abhaengig sein.

- Wenn ein Vektor (Skalar) ein Vielfaches eines anderen Vektors (Skalars) ist, dann muessen die beiden linear abhaengig sein.

Hingegen:

- Eine Teilmenge eines n-dimensionalen Raums, die aus n Elementen besteht, muss nicht Basis oder auch nur linear unabhaengig sein.

Gruss,
mountainflower
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

trotzdem brauche ich ein einfaches beispiel zu den aufgaben nummern 1,3,4.....die 2 ist sehr leicht.
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wiederhole es nochmal:

MAn macht immer den Ansatz über Linearkombination des Nullvektors. Dabei spielt es keine Rolle, aus welchem Vektorraum die Element der Menge kommen.

1. {1} in R

Die Linearkombination lautet:


{1} ist eine Teilmenge des Vektorraums R.

3. {v,w} in R(hoch2) mit v ungleich w


Hier musst du Fallunterscheidungen machen. Was ist, wenn v oder w der Nullvektor ist, was passiert, wenn zwar v ungleich w aber w ein Vielfaches von v, usw.


4. {(pi,pi(hoch2),pi(hoch3)), (o,pi(hoch4),pi(hoch5)),(0,0,pi(hoch6)} in R(hoch3) (pi=3,14159...) ??

Linearkombination:





Die Vektoren sind l.u., wenn die Linearkombination NUR durch die triviale Lösung erfüllt werden kann.
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

bei 1) muss ich ja lambda=0 zeigen nicht wahr...???lambda mal 1 ist ja schon null also linear unabhängig ne?

aber das mit der falluntersciedung bei aufgabe 2..da habe ich keine ahnung wie das geht??

ich meine ich verstehe das mit der fallunterschiedung gar nicht

edit: Dreifachpost zusammengefügt, benutze die edit-Funktion! (MSS)
mountainflower Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn in der Zwischenzeit noch kein anderer etwas geschrieben hat, dann kannst Du Deine Nachrichten jeweils editieren, wenn Dir noch was einfaellt. So brauchst Du nicht jedesmal einen neuen Post zu machen und der Thread bleibt etwas uebersichtlicher.

Aufgabe 1: Ein einzelnes Element ist immer linear unabhaengig. Du kannst ja bei der Formel einsetzen und kriegst dann die Formel , die Tobias geschrieben hat. Da hier Lambda immer Null sein muss, damit es stimmt, muss ein einzelnes Element immer linear unabhaengig sein.
Jetzt musst Du noch sagen, ob es ein Erzeugendensystem ist. Wenn Du Dir ueberlegst, wie viele Elemente ein Erzeugendensystem von R haben muss, dann bist Du schon am Ende.

Aufgabe 2: Um zu ueberpruefen, ob sie linear abhaengig sind oder nicht, setzt Du einfach wieder in die Formel oben ein. Hier ist keine Fallunterscheidung noetig, da Du konkrete Vektoren gegeben hast. Ob sie ein Erzeugendensystem bilden, siehst Du wieder, wenn Du Dir ueberlegst, wie viele Vektoren ein Erzeugenendensystem haben muss.

Aufgabe 3: Hier kannst Du jetzt eine Fallunterscheidung machen. Das heisst, Du muesstest die Aufgabe mehrere Male loesen, indem Du einmal voraussetzt, dass der eine Vektor ein Vielfaches ist vom zweiten, einmal, dass einer der Vektoren der Nullvektor ist, usw.
Du kannst aber auch einfach die Vektoren mit und bezeichnen und dann beschreiben, in welchen Faellen die Lambdas nicht Null sein muessen, damit die Linearkombination der Vektoren Null gibt.
Verstehst Du das in Etwa? Versuch es mal und schreibe hier im Forum, was Du hinbekommen hast.

Aufgabe 4: Die ist wieder wie die Aufgabe 2, also mit konkreten Zahlen. Die kannst Du also einfach mit der Linearkombination loesen.

Gruss,
mountainflower
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

für die Aufgabe 3 habe ich raus:

1 Fall:
z.z: lambda 1 und lambda 2=0, v=0, w ungleich 0

lambda(1) (v) + lambda(2) w=0

es folgt....

lambda(2)=0

lambda(1)=0

also linear unabhängig?

nun jetzt weiss ich leider nicht wie es mit dem vielfachen von einem der vektoren geht?

und was ich bezüglivh dieser beiden fällen. für eine lösüng bekomme?

ich weiss nur...dass eine menge, die den nUllvektor enthält, ist linear abhängig

und eine menge mit zwei elementen ist genau dann linear unabhängig, wenn keiner der vektoren ein skalares vielfaches des anderen ist...damit es linear unabhängig ist muss es die triviale lösüng lambda (1),Lambda (2)=0 haben.......


so und jetzt das wars was ich dazu wusste...
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal zu dem Ansatz:

Zitat:
z.z: lambda 1 und lambda 2=0

Das ist nicht richtig formuliert, denn erfüllt IMMER das homogene Gleichungssystem. Richtig formuliert muss es heißen:
Zu zeigen: Es existiert nur die triviale Lösung .

D.h. es gibt keine davon verschiedene Lösung.

Deine Vorgehensweise ist dann etwas merkwürdig. Vor allem die Schlussfolgerung ohne Begründung...

Ich würde es so angehen:

Seien zwei Vektoren aus .





Und daraus bastelst du jetzt drei Fälle:

1. Fall: und v ist der Nullvektor.
2. Fall: und es gibt ein s mit v = s*w (o.B.d.A)
3. Fall: und es gibt kein s mit v = s*w oder w = s*v
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

kommt da jetzt im ersten fall lambda 1 =0 und lambda 2 = 0 raus??

die letzten beiden fälle verstehe ich nicht??ist das etwa bezogen auf das vielfache von einem vektor?
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Immer noch nicht verstanden?

Es kann IMMER IMMER IMMER rauskommen. Du musst zeigen, dass NUR und wirklich NUR rauskommen kann.


Aber wenn v der Nullvektor ist, dann kann ich lambda_1 beliebig wählen. Dann gibt es also nicht nur die triviale Lösung und die Menge ist automatisch linear abhängig. (Jede Menge, die den Nullvektor enthält ist linear abhängig).

Die beiden anderen Fälle besagen:
2. v ist ein Vielfaches von w
3. v und w sind keine Vielfachen voneinander
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

tobias ich verstehe schon was du mir damit sagen willst und was ich zeigen muss nur ich weiss nicht wie ich den beweis dafür duchzuführen habe???


das ist mein problem bei dieser aufgabe.brauche immer einen konkreten beweis um die aufgabe verstehen zu können.... unglücklich
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

1. Fall v sei der Nullvektor.

Linearkombination:



Daraus folgt:

beliebig und . Es gibt also mindestens eine nichttriviale Lösung für .

{v, w} ist linear abhängig, wenn v = 0. Da jede Basis von genau zwei l.u. Vektoren besitzt (und eine Basis ein minimales Erzeugendensystem ist), ist {v, w} für diesen Fall kein Erzeugendensystem.

2. Fall für ein reelles s.

Linearkombination:





Setzt man also z.B. und entsprechend dann hat man eine nichttriviale Lösung und somit ist {v, w} wieder linear abhängig und kein Erzeugendensystem.

Im Fall 3 kommt man zwangsläufig nur auf die triviale Lösung . Dann ist {v, w} lineare unabhängig, somit Basis und Erzeugendensystem.
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

danke tobias kannst du mir denn noch vielleicht sagen was bei aufgaben 1),2) bzw 4) rauskommt?damit ich es vergelichen kann.Reicht auch wenn du schreibst ob sie nun linear abhängig oder nicht sind bzw ein Erzeugendensystem bilden. Ich wollte dies nur wissen damit ich mir keine sorgen mache dass meine eigenen ergebnisse falsch sind.
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Gegenvorschlag: schreibe du deine Lösungen auf und wir sagen dir, ob sie richtig sind.

Zitat:
Original von mountainflower
Ein einzelnes Element ist immer linear unabhaengig.

Es esei den, dass dieses Element 0 ist...

Gruß
Anirahtak
mountainflower Auf diesen Beitrag antworten »

Den Gegenvorschlag finde ich auch besser.

@ Anirahtak:
Ach ja, stimmt natuerlich. Den Nullvektor hab ich einfach verdraengt...
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