W-Räume die zweite.

25.03.2005, 12:55	papahuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
W-Räume die zweite. Hallo, da mir schon letztens so kompetent geholfen wurde, stelle ich hier ein anderes Problem, das mir Schwierigkeiten bereitet. $\begin{eqnarray} \sum_{i}\prod_{j} Pr\left[x_j \in M_i\ \|\ x_k \in M_i, k < j\right] \end{eqnarray}$ Es geht hierbei um eine Abschätzung dieser Summe. Die Ereignisse $\begin{eqnarray} x_j \in M_i \end{eqnarray}$ sind erstmal nicht unabhängig voneinander. Durch eine geeignete Wahl der $\begin{eqnarray} x_j \end{eqnarray}$ möchte man sie allerdings unabhängig machen. Da ich den weiteren Verlauf des Beweises, zu dem die Summe gehört, nicht komplett nachvollziehen konnte, habe ich den Tipp bekommen, dass diese Summe gleich der folgenden ist: $\begin{eqnarray} \sum_{i : \forall j x_j \in M_i} \prod_{j} Pr\left[x_j \in M_i\ \|\ x_k \in M_i, k < j\right] \end{eqnarray}$ Ich würde gerne wissen, ob/warum das korrekt ist, bzw. unter welchen Umständen das korrekt sein könnte. Danke
25.03.2005, 15:18	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme mal an, $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist die Anzahl der $\begin{eqnarray} x_j \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x_1,\ldots,x_n \end{eqnarray}$ . Außerdem sei $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ die Anzahl der Mengen $\begin{eqnarray} M_i \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} M_1,\ldots,M_m \end{eqnarray}$ . Den Summanden in beiden Summen kann man vereinfachen: $\begin{eqnarray} \prod_{j=1}^n Pr\left(x_j\in M_i \bigm\| x_k\in M_i, k<j\right) = Pr(A_i)\quad \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \quad A_i:=\bigcap\limits_{k=1}^n \left[x_k\in M_i\right] \end{eqnarray}$ Klar ist, dass das eine Zahl ist, also nichtzufällig. Das gleiche trifft dann auch auf die erste Summe zu: $\begin{eqnarray} S_1 = \sum_{i=1}^m Pr(A_i) \end{eqnarray}$ Die zweite Summe dagegen ist (ohne weitere Informationen) eine i.a. nichtdeterministische Zufallsgröße: $\begin{eqnarray} S_2 = \sum_{i:\; \forall j:\; x_j\in M_i} Pr(A_i) = \sum_{i=1}^m \mathbf{1}_{A_i}\cdot Pr(A_i) \end{eqnarray}$ Beide Summen sind höchstens dann gleich, wenn $\begin{eqnarray} Pr(A_i)=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} Pr(A_i)=1 \end{eqnarray}$ für alle i=1,...,m gilt, andernfalls besteht diese Gleichheit nicht.
25.03.2005, 16:45	papahuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es geht hier um unendliche Summen und Produkte; sorry, dass ich das nicht klargemacht habe. Du hast übrigens Recht, es gilt tatsächlich, dass $\begin{eqnarray} Pr(A_i) = 0 \end{eqnarray}$ . Leider will ich genau das zeigen, kann es also nicht voraussetzen. Es soll darauf hinauslaufen, dass jeder Faktor kleiner 0.9 ist. Da es sich um unendliche Produkte handelt, ist jedes Produkt 0, und man summiert unendlich oft die 0. Die Summe als ganzes wäre demnach auch 0, und der Beweis zuende. Um dahinzugelangen, werden zwei andere Wahrscheinlichkeiten abgeschätzt, die von der gleichen Bedingung $\begin{eqnarray} (=: B_{i,j}) \end{eqnarray}$ abhängen, wie die Summe die ich gepostet habe. Dann steht im weiteren Verlauf folgendes: $\begin{eqnarray} Pr[blabla \| B_{i,j}] = Pr[blabla] \end{eqnarray}$ . Da ich dies damals nicht verstanden habe, hat man mir die Gleichheit mit der anderen Summe (1.Post) nahegelegt, und dann so argumentiert: Da die Summe nur über $\begin{eqnarray} i \in \mathbb{N} : \forall j \in \mathbb{N}\ B_{i,j} \end{eqnarray}$ geht, kann man das $\begin{eqnarray} B_{i,j} \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} Pr[xyz] \end{eqnarray}$ weglassen, weil man eh weiss, dass das Ereignis eingetreten ist. Ich bin mittlerweile aber der Meinung, dass man das $\begin{eqnarray} B_{i,j} \end{eqnarray}$ aus einem anderen Grund weglassen kann. Vorher werden die $\begin{eqnarray} x_j \end{eqnarray}$ nämlich so gewählt, dass die Ereignisse $\begin{eqnarray} x_j \in M_i \end{eqnarray}$ "ausreichend" unabhängig sind, wie sich der Autor des Beweises auszudrücken pflegt. Ich weiss jetzt nicht, was davon richtig ist. Der Tipp mit dem Weglassen einiger Summanden kommt mir nämlich ein wenig spanisch vor, aber andererseits sollte derjenige, der mir den Tipp gab, Ahnung davon haben.
25.03.2005, 16:50	papahuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit xyz meine ich natürlich wiederum blabla.
28.03.2005, 19:42	papahuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du noch eine Idee? Kann ich nun davon ausgehen, dass die Aussage falsch ist, wenn ich nicht vorher weiss, ob die Summanden alle 0 sind?

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