2 ebenen : 3te ebene senkrecht zu beiden

26.03.2005, 21:41	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
2 ebenen : 3te ebene senkrecht zu beiden Nabend nochmal, habe gerade eine Aufgabe gelöst und weiß nicht ob ich es richtig angestellt habe. Wäre super wenn sich das jmd. mal anschauen kann. Aufgabe : Gegeben : E1 : 2x + 6y + 9z = 121 E2 : 6x + 7y - 6z = -121 Bestimme die Ebene E3, die zu E1 als auch zu E2 orthogonal ist und den Koordinatenursprung enthält. Meine Lösung : Damit die neue Ebene orthogonal zu E1 + E2 ist, bilde ich das Vektorprodukt(kreuzprodukt) der beiden normalen von E1 + E2 Dies lautet : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} x \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dies ist mein erster Richtungsvektor (hoffe ich) Da sie durch den Ursprung gehen soll ist 0/0/0 mein Spannvektor. Der 2te Richtungsvektor ergibt sich aus dem ersten, da ich einfach einen orthogonalen dazu bilde mit der Gleichung : -9x +6y - 2z = 0 (Skalarprodukt) Die Gleichung ist erfüllt für 2 / 2 / -3 Somit lautet meine Ebene E3 : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -9 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Stimmt das so oder habe ich was falsch gemacht ? mfg Marc
26.03.2005, 22:16	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 2 ebenen : 3te ebene senkrecht zu beiden Das ist falsch. Du kannst nicht einfach irgendeinen orthogonalen Vektor berechnen und dann sagen, das wird schon der sein, der auf der Ebene drauf liegt. Weil es zu EINEM Vektor UNENDLICH VIELE ORTHOGONALE Vektoren im Raum gibt, die alle eine völlig unterschiedliche Richtung haben. Eine Ebene ist wie ein Blatt Papier und du brauchst 2 Richtungsvektoren (Pfeile, die auf dem Blatt oben liegen) oder einen Normalvektor( Pfeil, der im rechten Winkel auf das Blatt steht - wie eine Tischplatte und das dazugehörige Tischbein). Der Normalvektor der orthogonalen Ebene ist einfach das Kreuzprodukt beider Normalvektoren deiner 2 gegebenen Ebenen. lg kiki
26.03.2005, 22:29	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 2 ebenen : 3te ebene senkrecht zu beiden Das verstehe ich nicht ganz. Also wenn ich das Kreuzprodukt der beiden Normalvektoren von E1 und E2 bilde erhalte ich einen Vektor der Senkrecht zu beiden Ebenen ist. Dies muß doch dann nur ein Richtungsvektor meiner zur berechnenden Ebene sein ? Wenn nicht was muß ich tun ? Edit : Oder hey ich glaub ich habs..... Das Kreuzprodukt gibt doch den Normalvektor der neuen Ebene. In der NOrmalform kann ich dann direkt meine Ebene angeben. Aber wie geht sie durch den Ursprung ? Reicht es wenn ich am Ende dann = 0 schreibe ? Ergebniss wäre dann : -9x + 6y -2z = 0 Stimmt das ?
26.03.2005, 22:36	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 2 ebenen : 3te ebene senkrecht zu beiden @-9x +6y - 2z = 0 (Skalarprodukt) da hast du ja deine ebene w hat sich überschnitten: ja das stimmt
26.03.2005, 22:40	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Super vielen DANK an euch !

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