multiplikative Gruppe |
| 26.03.2005, 21:54 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| multiplikative Gruppe Ich habe eine kurze Frage. Bei Gruppen mit der Multiplikation als Verknüpfung wird ja immer die 0 rausgenommen, weil nicht definiert ist. Aber im allgemeinen sind doch Gruppen nur irgendwelche Strukturen, die nicht unbedingt aus Zahlen, wie wir sie aus kennen, bestehen müssen. Also könnte man doch doch das Nulelement in der Menge lassen, und es wäre trotzdem eine Gruppe. Ist das so korrekt ? Danke. |
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| 26.03.2005, 22:15 | swerbe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nunja, nach streng mathematischer Definition einer Gruppe, ist es nur im eingeschränkten Maße eine "beliebige"Struktur....es ist vielmehr eine Verknüpfung bestimmter Objekte, welche beispielsweise durch ein Abbildung "mathmatisiert" wurden....die Def. ist ja nichts anderes als: ,,Ein Monoid G , in dem jedes Element invertierbar ist, heißt eine Gruppe" |
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| 26.03.2005, 22:43 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
swerbe:
Ich habe ja nichts gesagt, was dagegen spricht. Nur nennt man das neutrale Element bzgl + Nullelement. aber wir müssen ja in Gruppen nicht nur Zahlen betrachten so wie ich das bisher verstanden habe? Man kann Mengen nehmen, Buchstaben, was auch immer. Und da wäre dann 0^-1 definiert . Diese "0^-1" dar jetzt nicht verwechselt werden mit der 0 aus den ganzen Zahlen. Ich müsste schreiben : Nullelement^-1 . Dann wäre das doch definiert !? oder will man einfach eine Beziehung zu der Definition von 0^-1 bei den Zahlen herstellenn ? |
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| 27.03.2005, 21:28 | gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In einer Gruppe hast du nur eine einzige Verknüpfung und wenn du das neutrale Element dieser Verknüpfung mit 1 bezeichnest gibt es so etwas wie 0 in der Gruppe überhaupt nicht und man muss sich entsprechend auch keine Gedanken darüber machen. Was meinst du also? Einen Körper? Dort kann unabhängig davon, um was für eine Menge es sich handelt, 0^(-1) nicht existieren, da stets 0*a=0 und außerdem gilt, so dass es kein Element mit 0*a=1 geben kann. In einem Ring zum Beispiel kann aber 0^(-1) tatsächlich existieren, da hier nicht gefordert wird (siehe Nullring). Mit "Zahlen" oder "keine Zahlen" hat das aber alles nichts zu tun, es hängt vielmehr von den Axiomen der betrachteten algebraischen Struktur ab. |
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| 27.03.2005, 21:59 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiss, dass es in einer Gruppe nur eine Verknüpfung gibt. Ich bezog mich nur auf die Multiplikation, weil dort 0^-1 nicht definiert ist. Wenn es ein Einselement gibt, kann doch die Null trotzdem exisitieren, sodass gilt 0*x = 0 für alle x. Dagegen spricht doch nix. Ich wollte bloss wissen, warum man immer die "0" - absichtlich in Anführungszeichen, da es ja auch als a definiert und nicht als gelten muss. |
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| 28.03.2005, 17:11 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erstmal musst du 2 Sachen auseinanderhalten, den Namen und die Eigenschaften von einem Gruppenelement. Natürlich kannst du ein beliebiges Gruppenelement '0' oder 'Null' nennen, genauso wie du es auch als 'Karl' oder 'Hans' oder eben 'a' oder 'b' bezeichnen kannst. Andrerseits kannst du etwas mit '0' bezeichnen um deutlich zu machen, dass es die Eigenschaften der Zahl 0 hat. Dabei bezeichnet man in einer additiven Gruppe das neutrale Element mit '0' und in einer multiplikativen mit '1' Das tut man in Analogie zu Gruppen, die nur aus Zahlen bestehen. Wenn man jetzt in einer beliebigen Gruppe ist, ist a priori nicht klar, ob man diese lieber als Analogie zu einer additiven oder multiplikativen Gruppe von Zahlen ansehen soll. Hier nimmt man meisst die Kommutativität als Entscheidungskriterium. In einer Gruppe, die kommutativ ist, verwendet man + als Operation und '0' als neutrales Element, in einer allgemeinen Gruppe, die dann kommutativ sein kann aber nicht muss, nimmt man * als Operation und '1' als neutrales Element. |
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