Mächtigkeit von Mengen

26.03.2005, 22:11	Stary	Auf diesen Beitrag antworten »
Mächtigkeit von Mengen Also ich streite mich grad mit zwei anderen Menschen. Es geht um etwas mathematisches. Ich schilder mal kurz die Sachlage: Es geht um die Potenzmenge der Menge der natürlichen Zahlen. Dass die Potenzmenge immer eine größere Mächtigkeit als die Menge selbst hat wissen wir schon. Und jetzt kommt der Knackpunkt. Die anderen beiden Diskussionsteilnehmer behaupten die Potenzmenge der natürlichen Zahlen hat als Mächtigkeit 2^IN. Das haben sie wohl daher, dass die Potenzmenge bei (endlichen?) Mengen genau 2^n Elemente enthält, wenn die Ausgangsmenge n Elemente enthält. Ich halte den Ausdruck 2^IN aber für nicht richtig. 1. Weil mir 2 hoch unendlich wegen dem hoch unendlich sehr verdächtig erscheint und 2. Weil man wenn man IN die Mächtigkeit IN zuordnet und P(IN) 2^IN wohl zweimal die gleiche Mächtigkeit erhält. Ich dachte mir das so: Induktion 1 liegt in 2^IN und wenn n darin liegt dann auch n+1 3.Außerdem hab ich noch nie einen Ausdruck der Form 2^IN gesehen. (ok, das muss nicht wirklich was heißen...) Ich kenn die Angabe der Mächtigkeit nur mit den alephs. Und IN hat ja aleph 0, und P(IN) hat aleph 1 Ich würde jetzt gerne wissen, wer Recht hat, oder ob ich und die beiden anderen falsch liegen. THX Stary
26.03.2005, 22:28	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
das 2^IN ist eine Notation, die man für die Potenzmenge der natürlichen Zahlen verwendet. Das kann man so nicht ausrechnen, aber nach genau der Analogie für endliche Mengen verwendet man diese Notation. ich habe nicht genau verstanden, was du bei 2. erklären wolltest, mir fällt dazu noch ein: 2^IN = IR, also die Menge der reellen Zahlen ist genauso mächtig wie die Potenzmenge der natürlichen Zahlen. man kann mit dieser Notation auch rechnen, zB ist die Menge der Folgen der reellen Zahlen genau so mächtig wie die reellen Zahlen selbst, es gilt: IR^IN = (2^IN)^IN = 2^(IN x IN) = 2^IN = IR
26.03.2005, 22:36	Stary	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei 2. hab ich gemeint, dass 2^IN und IN doch das gleiche sein müsste. Da man wenn man IN abzählt startet man bei 1 und zählt immer weiter. Wenn man 2^IN abzählen möchte macht man doch das gleiche. Man zählt einmal alle Zahlen von 1 bis IN (also unendlich), und man zählt einmal von 1 bis 2^IN (ebenfalls unendlich). Wo liegt da jetzt der Denkfehler?
26.03.2005, 23:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Schreibweise $\begin{eqnarray} 2^{\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ erscheint mir nicht sinnvoll. Denn da werden zwei Dinge durcheinandergebracht. Für zwei Mengen $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ versteht man unter $\begin{eqnarray} A^B \end{eqnarray}$ die Menge aller Abbildungen $\begin{eqnarray} B \to A \end{eqnarray}$ . Will man diese Abbildungen „zählen“, so kommt es offenbar nur auf die Mächtigkeiten von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ an. D.h. wenn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ durch eine gleichmächtige Menge $\begin{eqnarray} A' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ durch eine gleichmächtige Menge $\begin{eqnarray} B' \end{eqnarray}$ ersetzt wird, so enthält $\begin{eqnarray} A'^{B'} \end{eqnarray}$ genau so viele Abbildungen wie $\begin{eqnarray} A^B \end{eqnarray}$ . Da diese Mächtigkeitkeit also nur von den Kardinalitäten abhängt, schreibt man für sie definitionsgemäß $\begin{eqnarray} \mathfrak{a}^{\mathfrak{b}} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \mathfrak{a},\mathfrak{b} \end{eqnarray}$ die Kardinalitäten von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ (und allen zu $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ gleichmächtigen Mengen) bzw. $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ (und allen zu $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ gleichmächtigen Mengen) angeben. Beispiel 1 $\begin{eqnarray} A = \{x,y,z\} \ \text{(dreielementige Menge)} \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \mathfrak{a} = 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B = \{u,v\} \ \text{(zweielementige Menge)} \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \mathfrak{b} = 2 \end{eqnarray}$ Wie viele Abbildungen $\begin{eqnarray} B \to A \end{eqnarray}$ gibt es nun? Hier kann man alle aufschreiben: $\begin{eqnarray} \text{1.} \ \ f(u) = x, \ f(v) = x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{2.} \ \ f(u) = x, \ f(v) = y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{3.} \ \ f(u) = x, \ f(v) = z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{4.} \ \ f(u) = y, \ f(v) = x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{5.} \ \ f(u) = y, \ f(v) = y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{6.} \ \ f(u) = y, \ f(v) = z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{7.} \ \ f(u) = z, \ f(v) = x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{8.} \ \ f(u) = z, \ f(v) = y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{9.} \ \ f(u) = z, \ f(v) = z \end{eqnarray}$ Es gibt also tatsächlich $\begin{eqnarray} \mathfrak{a}^{\mathfrak{b}} = 3^2 = 9 \end{eqnarray}$ Abbildungen. Beispiel 2 Die Potenzschreibweise wird nun auf beliebige Kardinalitäten übertragen. $\begin{eqnarray} A = \{x,y\} \ \text{(zweielementige Menge)} \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \mathfrak{a} = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B = \mathbb{N} = \{1,2,3,...\} \ \text{(abzählbar unendliche Menge)} \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \mathfrak{b} = \aleph_0 \end{eqnarray}$ Jetzt ist $\begin{eqnarray} \{x,y\}^{\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ die Menge aller $\begin{eqnarray} x-y \end{eqnarray}$ -Folgen. Die Menge dieser Folgen ist aber gleichmächtig mit der Potenzmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . (Interpretiere einfach jede $\begin{eqnarray} x-y \end{eqnarray}$ -Folge als Folge von Entscheidungen, z.B. $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ für „ja“ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ für „nein“, angewandt auf die natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray} 1,2,3,... \end{eqnarray}$ . So entspricht z.B. der Folge $\begin{eqnarray} xyxyxyxyxy... \end{eqnarray}$ die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen, der Folge $\begin{eqnarray} yyyyyyyyyy... \end{eqnarray}$ die leere Menge, der Folge $\begin{eqnarray} yxxyxyxyyyxyx... \end{eqnarray}$ die Menge der Primzahlen usw.; also ist die Menge dieser Folgen tatsächlich zur Potenzmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \end{eqnarray}$ gleichmächtig.) Man kann nun zeigen, daß die Mächtigkeit der Potenzmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \end{eqnarray}$ gerade der Mächtigkeit des Kontinuums, also der Mächtigkeit $\begin{eqnarray} \aleph \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist. Ausführlich erörtert wurde das in diesem Strang. Es gilt daher: $\begin{eqnarray} 2^{\aleph_0} = \aleph \end{eqnarray}$ . Die Mischschreibweise $\begin{eqnarray} 2^{\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ ist daher nicht sinnvoll, es sei denn, man interpretiert die $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ in gewagter Annahme als Symbol für eine Menge der Mächtigkeit $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ .
27.03.2005, 00:21	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab auch schonmal die Schreibweise $\begin{eqnarray} 2^{\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ gesehen. Aber nach meiner Kenntnis handelte es sich hierbei nicht um die Mächtigkeit sondern um eine alternative Schreibweise für die Potenzmenge selber. Für die Menge M gibt es verschiedene Schreibweisen für die Potenzmenge: $\begin{eqnarray} \text{Pot}(M), \; P(M), \; 2^M, ... \end{eqnarray}$

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