Fläche berechnen eingeschlossen zwischen 2 Funktionen

26.09.2007, 23:59

Klaussp

Fläche berechnen eingeschlossen zwischen 2 Funktionen

Hallo Zusammen,

hab da versucht ne Aufgabe zu lösen, bin mir aber nicht sicher ob das so richtig ist.

y1(x) = 2x²+1
y2(x) = 7 - x²

Schnittpunkte berechnet als Integrationsgrenzen: [-1.41;1.41]

Als Integralgleichung habe ich beide zusammengefasst (macht man das so???)
Integral über 3x²-6 dx

Stammfunktion = x³-6x

Lösung = F(b) - F(a)
= -5,66 - 5,66
= -11.32

Stimmt das so???

Grüße klaus

27.09.2007, 00:07

tigerbine

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RE: Fläche berechnen eingeschlossen zwischen 2 Funktionen

Da würde ich meine Rechnung nochmal überdenken. Die eingeschossene Fläche ist ja positiv.

Schreibe die Rechnung einmal mit dem Editor.

27.09.2007, 00:13

klaussp

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RE: Fläche berechnen eingeschlossen zwischen 2 Funktionen
OK, ich habe die Schnittpunktgleichung als Integralgleichung übernommen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1.41}^{1.41}~3x^{2}~-6~dx \end{eqnarray*}$

Dann habe ich daraus die Stammfunktion gebildet:

$\begin{eqnarray*} F(x)~=~x^{3}~-~6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-1.41}^{1.41}~=~F(-1.41)~-~F(1.41) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =~-5.66~-~5.66 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =~-11.32 \end{eqnarray*}$

Jetzt besser?

27.09.2007, 00:13

tigerbine

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RE: Fläche berechnen eingeschlossen zwischen 2 Funktionen
Latex klammern vergessen.

27.09.2007, 00:24

tigerbine

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RE: Fläche berechnen eingeschlossen zwischen 2 Funktionen
Mit dem Bild sollte Dir klar sein, wo dein Fehler liegt. also warum du einen negativen Flächeninhalt bekommst.

Als Fläche zischen den Graphen muss etwas positives herauskommen. Zumal solltest Du nicht so brutal runden. Wozu gibt es denn das Wurzelzeichen Augenzwinkern

27.09.2007, 00:27

klaussp

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RE: Fläche berechnen eingeschlossen zwischen 2 Funktionen
Danke tigerbine mal zunächst, dass Du Dir das um diese Uhrzeit überhaupt anschaust!

Mir ist anhand der Zeichnung bewusst, dass ich einen Fehler haben muss. Leider weiss ich aber nicht in welchem Schritt ich den gemacht hab.
Ist schon meine Gleichung falsch?
Oder die Rechnung danach?

HILFE!!! bitte

27.09.2007, 00:33

tigerbine

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RE: Fläche berechnen eingeschlossen zwischen 2 Funktionen
Also, da man nicht immer einen Plotter hat, und eine Untersuchung, welche Funktion oben ist viel zu aufwendig ist, hat man ja noch die ||-Striche Augenzwinkern

1. Schnittpunkte bestimmen

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2x²+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = 7 - x² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

2. Fläche bestimmen

$\begin{eqnarray*} A=|\int_{x_1}^{x_2}~f(x)-g(x)~dx| \end{eqnarray*}$

27.09.2007, 00:44

klaussp

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RE: Fläche berechnen eingeschlossen zwischen 2 Funktionen
Danke, damit kann ich mehr anfangen!!!

27.09.2007, 00:49

klaussp

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RE: Fläche berechnen eingeschlossen zwischen 2 Funktionen
sorry, aber haste zur Sicherheit vielleicht noch das richtige Ergebnis?

(Ich komme nun auf 6,13 FE, was ja stark vom ersten Ergebnis abweicht)

27.09.2007, 00:55

tigerbine

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RE: Fläche berechnen eingeschlossen zwischen 2 Funktionen
$\begin{eqnarray*} A=|\int_{x_1}^{x_2}~(f(x)-g(x))~dx| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=|\int_{x_1}^{x_2}~((2x²+1)-( 7 - x²))~dx| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=|\int_{x_1}^{x_2}~(3x²-6)~dx| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=|[x^3-6x]_{x_1}^{x_2}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=|[x_2^3-6x_2]-[x_1^3-6x_1]| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=|[\sqrt{2}^3-6\sqrt{2}]-[-\sqrt{2}^3+6\sqrt{2}]| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=|2\sqrt{2}^3-12\sqrt{2}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=|4\sqrt{2}-12\sqrt{2}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=|-8\sqrt{2}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \approx 11.31 \end{eqnarray*}$

27.09.2007, 00:55

klaussp

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RE: Fläche berechnen eingeschlossen zwischen 2 Funktionen
Danke schön, tigerbine!

Das bedeutet ja, dass meine erste Rechnung schon richtig war, bis auf die Betragsstriche (und den Rundungsfehler von 0,01)

27.09.2007, 01:32

tigerbine

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RE: Fläche berechnen eingeschlossen zwischen 2 Funktionen
Schön, dann weißt Du nun, was ich Dir hiermit

Zitat:

Mit dem Bild sollte Dir klar sein, wo dein Fehler liegt. also warum du einen negativen Flächeninhalt bekommst.

sagen wollte Augenzwinkern

27.09.2007, 10:55

klaussp

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RE: Fläche berechnen eingeschlossen zwischen 2 Funktionen
jetzt mal noch ne Dumme Frage:

müsste man nicht die 1. Funktion als untere nehmen (2x²+1), weil die ja eindeutig über der anderen liegt, und entsprechend die 1. Funktion f(x) von der 2. Funktion g(x) abziehen?

$\begin{eqnarray*} f(x)~=~2x^{2}~-+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)~=~7-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-~\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}~(7-x^2)~-~(2x^{2}~-+2)~dx \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} \int_{-~\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}~(-3x^{2}+6)~dx \end{eqnarray*}$
???

27.09.2007, 13:06

Airblader

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Grade durch die Betragsstriche wird das unerheblich.
Ohne Betragsstriche hättest du es so machen müssen, ja. Wäre das selbe Ergebnis.

air

27.09.2007, 13:23

tigerbine

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Frag Elke Heidenreich: Lesen! Augenzwinkern

Zitat:

tigerbine
Also, da man nicht immer einen Plotter hat, und eine Untersuchung, welche Funktion oben ist viel zu aufwendig ist, hat man ja noch die ||-Striche

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Fläche berechnen eingeschlossen zwischen 2 Funktionen

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