Funktionenraum Problem

27.03.2005, 10:17	thehans	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionenraum Problem Moin hab da ein kleines Prolbem und komm damit irgendwie nicht klar. Also es sei C[1,8] der Vektorraum der auf dem reellen Intervall [1,8] stetigen reellwertigen Funktionen mit der üblich Addition und Multiplikation. Und es Sei V der wie folg definierte Unterraum: $\begin{eqnarray} V :=\{ f \in C[1,8] \| f(x) = \alpha ln(x) + \beta * ln(2x) + \gamma * ln(3x), \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb R\} \end{eqnarray}$ Dazu habe ich dann mehrere Aussagen die ich bewerten soll. Erstmal aber nur eine. $\begin{eqnarray} 1. dim(V)=3 \end{eqnarray*}$ So ich habe mir jetzt überlegt das die Dimension des Unterraums nur 1 ist, da ln(2x) und ln(3x) nur viellfache von ln(x) sind und somit linear abhähngig sind. Ist das so ok oder totaler schwachsinn?
27.03.2005, 13:20	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 2\ln(x)=\ln(x^2) \end{eqnarray}$ Also Vielfaches stimmt nicht.
27.03.2005, 15:04	thehans	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar dummer Fehler von mir. Hatte mal folgende Idee jetzt. $\begin{eqnarray} ln(2x) = ln(2) + ln(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ln(3x) = ln(3) + ln(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ln(2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ln(3) \end{eqnarray}$ sind vielfaches von 1 und somit sind die Basen dieses Unterraumes $\begin{eqnarray} ln(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ . Oder?
27.03.2005, 16:31	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo thehans, bis jetzt bist du im Bereich der Vermutungen geblieben. Du musst aber zeigen, dass deine Vermutungen richtig sind. Sei $\begin{eqnarray} B= \{ 1,ln(x)\} \end{eqnarray}$ eine Basis des vermuteten Unterraumes der Dimension 2. Jetzt musst du 2 Sachen beweisen: a) Die Basisvektoren sind linear unabhängig b) Die Basisvektoren bilden ein Erzeugendensystem des Unterraumes Gruss yeti

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