Logistisches Wachstum

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27.03.2005, 14:35	Scrabbi	Auf diesen Beitrag antworten »
Logistisches Wachstum Ich brauche Hilfe! Mir macht ein gewisser Indianerstamm Probleme! Aus folgendem Grund: Im tropischen Regenwald lebt isoliert ein 5000 Menschen zählender Indianerstamm. Einer seiner Bewohner wird unabsichtlich mit einer ungefährlichen, aber sehr ansteckenden Grippe infiziert. Durch gegenseitige Ansteckung in den darauf folgenden Wochen zählt man nach 4 Wochen bereits 300 Kranke. - Bestimme den Funktionsterm K(t). Nach welcher Zeit ist die Hälfte der Stammesbewohner krank? Die Form der Funktion hat ja folgendermaßen auszusehen: $\begin{eqnarray} f(t)=\frac{aS}{a+(S-a)e^{-Skt}} \end{eqnarray}$ Und zum Zeitpunkt 0 ist 1 Person infiziert, zum Zeitpunkt 4 sind es 300; $\begin{eqnarray} a=f(0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S=5000 \end{eqnarray}$ . Aber wie berechne ich jetzt k, bei meiner bisherigen Rechnung erhalte ich $\begin{eqnarray} 2,8810^{-3} \end{eqnarray*}$ , doch dann stimmen das Ergebnis für t nicht, oder? Tja, was ist k und wann ist die Hälfte erkrankt? Bitte helfen!
27.03.2005, 17:08	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Indianerstamm Ich würde das so machen (denn ich kenne deine Formel da nicht ) Wachstumsgesetz: $\begin{eqnarray} f(x)=a\cdot e^{kx},\text{ x in Wochen} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(4)=e^{4k}=300 \text{ also } k=\frac{\ln(300)}{4} \end{eqnarray}$ Da der Anfangsbestand 1 ist, lautet deine Funktion $\begin{eqnarray} \operatorname{Indianderstamm}(x)=e^{\frac{\ln(300)}{4}x} \end{eqnarray}$ Jetzt suchst Du $\begin{eqnarray} \operatorname{Indianderstamm}(t)=e^{\frac{\ln(300)}{4}t}=2500 \end{eqnarray}$ Wenn Du die letzte Gleichung auflöst, weisst Du, nach vielen Wochen 2500 Indios ge oder LG und hol Dir keine Grippe EDIT: LATEX korrigiert
27.03.2005, 17:44	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, es soll das Modell des logistischen Wachstums verwendet werden, welches eine andere Wachstumsformel hat: $\begin{eqnarray} f(t) = \frac{A}{1+Ce^{-Akt}} \end{eqnarray}$ Das kommt wohl auf dasselbe raus wie die von Scrabbi erwähnte Formel, ist imo aber etwas einfacher. Du hast dann $\begin{eqnarray} A=5000 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} C=4999 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ kannst du mit der Angabe berechnen, dass nach 4 Wochen schon 300 infiziert sind, d.h. du setzt $\begin{eqnarray} t=4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(t)=400 \end{eqnarray}$ ein und löst nach $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ auf. edit : habe mal nachgerechnet, dein Wert für $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ stimmt; du musst jetzt nur noch $\begin{eqnarray} f^{-1}(2500) \end{eqnarray*}$ berechnen !
27.03.2005, 18:15	Scrabbi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, vielen Dank - habe selbst noch lange gerechnet und probiert, glaube, aber dass $\begin{eqnarray} k=2,8810^{-4} \end{eqnarray}$ ist und nicht $\begin{eqnarray} k=2,8810^{-3} \end{eqnarray}$ , wie ich zuerst glaubte. Wenn jetzt alles stimmt, wären nach ca. 7,47 Wochen 2500 Indianer krank!??
27.03.2005, 18:37	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, es sind 2.88E-4, ich hatte nicht genau hingesehen. Allerdings erhalte ich ein anderes Ergebnis, wenn ich die Gleichung $\begin{eqnarray} \frac{A}{2} = \frac{A}{1+Ce^{-Akx}} \end{eqnarray*}$ nach x auflöse
27.03.2005, 18:45	Scrabbi	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind es bei dir 5,97 Wochen? Muss wenn nochmal suchen, wo bei meiner Rechnung der Fehler steckt!
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27.03.2005, 20:18	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei mir kommen 5.91 Wochen raus. Du kannst dir die Umformung auch relativ leicht machen (falls du das nicht schon gemacht hast), wenn du in meiner Formel erstmal allgemein nach x auflöst und dann erst die konkreten Werte für A, k und C einsetzt.
27.03.2005, 22:20	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, dieses logistische Wachstum war mir fremd... hmm. Was konkret ist der Unterschied zum exponentiellen?
27.03.2005, 22:42	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
Das logistische Wachstum ist eine Art Mischform des exponentiellen Wachstums und des gebremsten Wachstums, da hier die Wachstumsrate (Ableitung) sowohl proportional zum aktuellen Funktionswert (exponentiell) als auch zum Abstand zur oberen Grenze (die genau wie beim gebremsten Wachstum existiert) ist. Man erhält also die Differentialgleichung $\begin{eqnarray} y' = ky(A-y) \end{eqnarray}$ mit der man auf die obige Gleichung für y kommen kann. In diesem Fall wohl sinnvoll anzuwenden, da sich die Krankheit erst einmal nahezu "ungestört" (exponentiell) ausbreiten kann, aber mit zunehmender Zahl der Erkrankten die Geschwindigkeit abnimmt, da nicht mehr so viele nicht infizierte Menschen vorhanden sind.
27.03.2005, 22:43	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar
28.03.2005, 00:23	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Und hier noch ein Plot, der 4c1d's Erklärung anschaulich machen soll:
28.03.2005, 11:21	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht fast aus wie eine Steuersatzkurve

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