Quadrat und Pyramide

27.03.2005, 16:52

Xtra

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Quadrat und Pyramide

Folgende Aufgabe bereitet mir mal wieder Probleme:

Gegeben sind die Punkte A ( 2 / - 4 / 4) , B ( 5 / 1 / 8 ) und C ( 8 / - 4 / 12 )

Gleichung d. Ebene in Normalenform: E1: 8x - 6z + 8 = 0

b.) Punkt D ( 5 / - 9 / 8) liegt in der Ebene E und bildet mit mit A, B, C die Eckpunkte eines Quadrates. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Quadrates...

Dass es sich um ein Quadrat handelt hab ich mit der Bildung der Seitenvektoren gezeigt.

Wie berechne ich denn nun den Flächeninhalt? Ich meine, muss ich das zeichnen? Ansonsten gilt ja für den Flächeninhalt des Quadrates: A = a ² ..

c.) Bestimmen Sie alle Punkte S, die zusammen mit A, B, C und D die Eckpunkte einer quadratischen senkrechten Pyramide mit der Höhe h = 10 LE bilden

Hier hab ich nun mal wieder keine Ahnung...

Ich bräuchte also mal wieder eure fachmännische Hilfe :o) Vielen Dank und frohe Ostern noch :o))

27.03.2005, 17:20

Egal

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Zu b)

Die Aufgabe sagt doch du sollst das "berechnen" dann ist das natürlich auch gemeint du sollst das ausrechnen und zwar genau so wie du das angegeben hast.

zu c)

Ich vermute einfach mal das A,B,C,D die Grundfläche bilden soll da alles andere vermutlich auf Grund der geforderten Höhe eh kein Sinn machen würde. Die 4 Punkte liegen ja in einer Ebene und jetzt überleg dir mal wo die Punkte liegen die zu einer Ebene den Abstand 10LE haben vielleicht hilft dir das ja schon.

27.03.2005, 17:32

Xtra

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Ja, super, aber muss ich um den Flächeninhalt zu berechnen | Punkt A| quadrieren, oder den Vektor a ?? Wie stelle ich das an??

27.03.2005, 19:24

PK

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Du musst natürlich den Betrag der Seitenstrecken nehmen, dann bekommst du den Flächeninhalt mit deiner Überlegung.

zu c):
Überleg mal, wie viele Punkte das ergibt, ist relativ klar.
Wie bestimmt man den?
Diagonalenschnittpubkt der Grundseite als Lotfußpunkt von S auf der Grundseite. Dann nimmst du den Normalenvektor der Grundseite, der muss dann 10 LE lang sein... fertig.

27.03.2005, 19:52

Xtra

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Also, ich hab nun für A = 50 FE raus... kann das hinhauen?

27.03.2005, 19:54

PK

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jo, stimmt.

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28.03.2005, 10:46

riwe

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zum nachweis, dass es sich um ein quadrat handelt, mußt du auch zeigen, dass AB senkrecht auf AD steht
deine zeichnung sollte in etwa so ausschauen
w

28.03.2005, 10:57

kikira

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@xtra

Siehst du....das wird dir ab nun mit jedem Beispiel so gehen, wenn du nicht versuchst, genau nachzuvollziehen, was ich dir bei deinem anderen Vektorbeispiel versucht hab zu erklären.

Du wirst jedes Beispiel hier posten müssen und dann den Rechengang auswendig lernen müssen. Das Blöde daran ist aber, dass es unendlich viele Angaben zu Vektorbeispielen gibt und es nur Zufall ist, wenn du genau das gleiche Beispiel zum Abi kriegst, das du schon mal gerechnet hast.

Vektorenrechnung ist überhaupt nicht schwer. Wichtig ist eine gute Skizze, rechte Winkeln einzeichnen und verstehen, was der Unterschied zwischen einem Punkt und einem Vektor ist.

lg kiki

28.03.2005, 12:32

Xtra

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@kikira
... ich schreib aber zum Glück kein Abi in Mathe :o) Bin nur leider in'nem P3-Kurs und muss das notgedrungen noch mitmachen, um'ne gute münliche Note zu bekommen - schreib keine Klausur mehr in Mathe *freu* ;o)

28.03.2005, 13:14

kikira

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Und das heißt? Ich bin aus Österreich und weiß nicht, was ein PK3 ist.
Also brauchst du nur die Aufgaben abzugeben und kriegst dazu keine Klausur? Also willst du nur den Lösungsweg? Wenn ja, wieso schreibst dann, dass du das nicht nachvollziehen kannst, wenn wir dir nur Formeln geben. verwirrt

verwirrt

Da brauchst dann doch nur einzusetzen.

lg kiki

30.03.2005, 14:27

Xtra

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mhh, von der GRundfläche her sieht meine Zeichnung genauso aus, aber irgendwie hab ich die Spitzen anders liegen verwirrt

verwirrt

Ich bin da wirklich zu blöde zu *heul*

Leider geht die Aufgabe noch weiter:

d.) Zeigen Sie, dass die Ebene $\begin{eqnarray*} E2 : \vec{x} = \begin{pmatrix} - 5 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ parallel zu E1 ist (hab ich schon bewiesen) UND zwischen E1 und S ( - 3 / - 4 / 14) liegt.

Gleichung d. Ebene in Normalenform: E1: 8x - 6z + 8 = 0

Ich hab leider keinen blassen Schimmer, wie man das zeigt und nachweist.

Berechnen Sie den Flächeninhalt des von E2 aus der Pyramide ABCDS harausgeschnittenen Quadrates verwirrt

verwirrt

Ich kann mir das leider nicht vorstellen....

30.03.2005, 15:47

riwe

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zu d) bringe E2 auf die HNF
$\begin{eqnarray*} E_2: \;\frac{4x -3z+29}{5} =0 \end{eqnarray*}$
den abstand eines punktes von der ebene erhältst du nun, indem du die koordinaten des punktes in die HNF einsetzt.
du erhälst dann (hoffentlich): d(A, liegt auf E1) > 0 und d(S) < 0, (oder umgekehrt), das bedeutet die beiden punkte liegen auf verschiedenen seiten der ebene

du weißt, die ebene liegt zw. e1 und S(-3/...)
nun stellst du 2 geraden auf durch SA und SB, bestimmst die schnittpunkte mit E2, d(P1,P2) ist die seite deines quadrates
w

01.04.2005, 10:42

Xtra

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So, die Spitzen der Pyramide hab ich erfolgreich (so wie ihr) berechnet.
Nun zu d)

Das die Punkte S und A auf verschiedenen Seiten von E2 liegen, hab ich auch nachgewiesen...

hab nun 2 Geraden durch SA und SB aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} g1: \vec{x} = \begin{pmatrix}- 3 \\ - 4 \\ 14\end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g2 : \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ - 4 \\ 14\end{pmatrix} + u * \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ - 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die hab ich nun mit E2 zum Schnitt gebracht:

S1 ( - 15,5 / - 4 / - 11) und S2 ( 1 / - 1,5 / 11)

Mit der ABstandsberechnung bekomm ich das aber nun nicht hin - wir haben das irgendwie immer über die HNF, aber da es sich ja um 2 Punkte handelt, kann ich das irgendwie nicht :o( Hilfe

Hilfe

01.04.2005, 11:05

Leopold

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Es ist ja nicht nach den Eckpunkten des Schnittquadrates gefragt, sondern nur nach seinem Flächeninhalt. Jetzt schneidet aber die Ebene $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ aus der Pyramide $\begin{eqnarray*} ABCDS \end{eqnarray*}$ eine kleinere Pyramide ab, die zur ganzen Pyramide ähnlich ist. Den Streckfaktor (hier Verkleinerungsfaktor) $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ erhältst du als

$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{\text{Bildstrecke}}{\text{Originalstrecke}} \end{eqnarray*}$

Für die Originalstrecke kannst du $\begin{eqnarray*} h=10 \end{eqnarray*}$ nehmen (Gesamthöhe der Pyramide), für die Bildstrecke $\begin{eqnarray*} h'=|d(S,E_2)| \end{eqnarray*}$ (Höhe der kleinen Pyramide).

Und jetzt gilt, wenn $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ den Flächeninhalt der Originalpyramide und $\begin{eqnarray*} F' \end{eqnarray*}$ den Flächeninhalt der kleinen Pyramide bezeichnet:

$\begin{eqnarray*} F' = \lambda^2 \cdot F \end{eqnarray*}$

(Bei Streckungen multiplizieren sich Flächeninhalte mit dem Quadrat und Rauminhalte mit der dritten Potenz des Streckfaktors.)

Und $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ kennst du schon, womit die Aufgabe gelöst ist.

01.04.2005, 11:43

kikira

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Zitat:

Original von Xtra

S1 ( - 15,5 / - 4 / - 11) und S2 ( 1 / - 1,5 / 11)

Du brauchst doch einfach nur die Länge des Vektors S1S2.

Die HNF-Formel gibt dir JENEN Abstand bekannt, der von einem Punkt IM RECHTEN WINKEL zu einer Figur (Ebene) steht.
Du willst doch nur die Seitenlänge des neuen Quadrats wissen.
Und von deinem neuen Quadrat kennst du nun 2 benachbarte PUnkte:

A' = S1
und
B' = S2

lg kiki

01.04.2005, 11:53

Leopold

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Die Geradengleichung $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ ist falsch (es muß in der dritten Koordinate des Richtungsvektors $\begin{eqnarray*} -10 \end{eqnarray*}$ heißen, dann ergibt sich für $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ der Ortsvektor des Punktes $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ).

Aber wie schon gesagt: Dieser Lösungsweg ist unnötig kompliziert, da alles zur Lösung Benötigte in den vorigen Teilaufgaben berechnet wurde. Man muß es nur noch richtig zusammensetzen.

01.04.2005, 12:49

kikira

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Find ich auch, aber da sie nun schon mal die Schnittpunkte berechnet hat - wenn auch falsch, dann ists nun für sie natürlich schneller, wenn sie einfach die Länge berechnet.

lg kiki

01.04.2005, 13:33

Leopold

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Zitat:

Original von kikira
Find ich auch, aber da sie nun schon mal die Schnittpunkte berechnet hat - wenn auch falsch, dann ists nun für sie natürlich schneller, wenn sie einfach die Länge berechnet.

lg kiki

Selbst jetzt ist die von mir vorgeschlagene Lösung noch schneller: es ist keine Summe quadrierter Differenzen zu berechnen, sondern nur $\begin{eqnarray*} \lambda^2 F \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ können unmittelbar aus den vorherigen Ergebnissen abgelesen werden.

01.04.2005, 13:37

kikira

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Das ist natürlich wahr.

kleinlaut Augenzwinkern

Augenzwinkern

:

kiki

02.04.2005, 18:18

Xtra

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@ Leopold : das verstehe ich nun gar nicht traurig

traurig

Wieso wird der Flächeninhalt denn mit F gezeichnet? Ist das nicht immer A? Ich versteh leider echt nur Bahnhof bei den Zechen (handelt es sich um Lambda? Kenn ich aus Bio *g*)i

02.04.2005, 19:08

kikira

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Du kannst den Flächeninhalt auch mit Kasperl bezeichnen und den Streckfaktor auch mit Melchior. Es ist völlig egal, welchen Buchstaben du für welche Größe her nimmst, wenn nur aus deiner Berechnung eindeutig hervor geht, was womit bezeichnet wird.

lg kiki

03.04.2005, 10:48

Xtra

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RE: Quadrat und Pyramide
hab jetzt für h' = | - 1 | raus, also h' = 1 für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ hab ich dann 1 / 10 raus... nur weiß ich nun keine Formel zur Brechnung des Flächeninhalts einer Pyramide :o(

03.04.2005, 11:00

riwe

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RE: Quadrat und Pyramide
die hat dir doch leopold schon hingeschrieben,
wird vermutlich heißen
$\begin{eqnarray*} \lambda =\frac{1}{10} \Rightarrow F^\prime=\lambda ^{2}F=\frac{1}{100} F \end{eqnarray*}$
F ist die grundfläche deiner pyramide
w

03.04.2005, 11:08

kikira

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RE: Quadrat und Pyramide

Zitat:

Original von Xtra
hab jetzt für h' = | - 1 | raus, also h' = 1 für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ hab ich dann 10 raus... nur weiß ich nun keine Formel zur Brechnung des Flächeninhalts einer Pyramide :o(

Eine Pyramide hat ein VOLUMEN, keine Fläche.
Was DU brauchst, ist der FLÄCHENINHALT DER GRUNDFLÄCHE deiner Pyramide.

Welche Grundfläche hat denn deine Pyramide?

Und by the way: In diesem Thread stehen bereits 2 Formeln zur Berechnung des Volumens einer Pyramide.
Ein bisserl könntest dich wirklich bemühen und dir mal die Beiträge noch einmal durchlesen.

So lässt sich nämlich vermeiden, dass wir alles doppelt und dreifach schreiben müssen.

lg kiki

03.04.2005, 11:09

Xtra

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RE: Quadrat und Pyramide
$\begin{eqnarray*} F' = \frac{1}{100} * 50 = 0,5 \end{eqnarray*}$

Die 50 LE sind ja der Flächeninhalt des Quadrates ABCD, also meiner Grundfläche, oder?!

@ kikira Ich habe mir alles doppelt udn dreifach durchgelesen, nur hab leider absolut keinen Plan von einer Pyramie, da ich damit noch nie gearbeitet hab.. Woher soll man dann wissen, dass'ne Pyramide keinen Flächeninhalt sondern nur ein Volumen hat?? Ich habe eure Formeln zuvor noch nie gesehen, daher fällt es mir schwer, sie nachzuvollziehen... Ich bemühe mich, so sehr es geht, das kannst du mir glauben!!!!

edit: Doppelpost zusammengefügt, benutze die edit-Funktion! (MSS)

03.04.2005, 11:20

kikira

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RE: Quadrat und Pyramide
In welche Klasse gehst du eigentlich? Wenn du solche Beispiele hast, dann musst du doch schon Oberstufe sein.
Und somit müsstest du doch in der Unterstufe alles über Körper und ebene Figuren gemacht haben.
Den Unterschied zwischen einer Fläche und einem Volumen lernt man doch schon in der Unterstufe.
Und wenn dir das nicht mehr bewusst ist, dann such mal hier in der Suchfunktion. Da wirst du bestimmt fündig werden, was Zeichnungen von Pyramiden angeht.
Kennst du denn die ägyptischen Pyramiden nicht? Noch nie gesehen - und wenns auch nur auf einem Bild war?
Wir können auch nicht mehr, als dir Formeln zum Berechnen geben und dir erklären, wie sie sich zusammensetzen und das hab ich hier gemacht.

Ich hab dir erklärt, dass das Volumen eines Körpers, der spitz zuläuft:

V = G * h/3

ist.

Volumen = Grundfläche * Körperhöhe/3

oder wie man die Grundfläche mit Vektoren berechnen kann.
Du wirst dich ein bisserl damit beschäftigen müssen und vielleicht mal ein bisserl Eigeninitiative entwickeln müssen, damit du dahinter steigst, worum es hier geht.

lg kiki

03.04.2005, 11:28

Xtra

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RE: Quadrat und Pyramide
Ich gehe in die 13. Klasse und klar hab ich schon mal'ne Pyramide gesehen, aber eben noch nie irgendwas davon vernünftig berechnet... Ich finds echt gemein, dass du meinst, ich würde keine Eigeninitiative ergreifen! Wenn ichS# nicht verstehe, kann ich auch nichst dafür, tut mir Leid, dass ich eure Zeit in Anspruch nehme - ihr braucht mir ja auch nicht helfen...

Und warum soll ich denn nun schon wieder das Volumen berechnen? Es wurde doch nach dem Flächeninhalt des Quadrates gefragt... außerdem hatte ich bei b) ja schon die Grundfläche von ABCD berechnet, also der "normalen" Pyramide....

03.04.2005, 11:53

riwe

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RE: Quadrat und Pyramide

Zitat:

Original von Xtra
Ich gehe in die 13. Klasse und klar hab ich schon mal'ne Pyramide gesehen, aber eben noch nie irgendwas davon vernünftig berechnet... Ich finds echt gemein, dass du meinst, ich würde keine Eigeninitiative ergreifen! Wenn ichS# nicht verstehe, kann ich auch nichst dafür, tut mir Leid, dass ich eure Zeit in Anspruch nehme - ihr braucht mir ja auch nicht helfen...

Und warum soll ich denn nun schon wieder das Volumen berechnen? Es wurde doch nach dem Flächeninhalt des Quadrates gefragt... außerdem hatte ich bei b) ja schon die Grundfläche von ABCD berechnet, also der "normalen" Pyramide....

nana, wer wird denn an so einem schönen tag soooo empfindlich sein
ja wenn 2 frauen....

das eine ist halt die grungFLÄCHE der pyramide, da steht sie sozusagen drauf, und das, was "drauf steht" auf der grundfläche, ist das volumen, der raumINHALT, der pyramide.

wenn l = 1/10 richtig gerechnet ist- das habe ich nicht überprüft-, dann stimmt dein F´
werner

03.04.2005, 12:45

kikira

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RE: Quadrat und Pyramide

Zitat:

Original von XtraUnd warum soll ich denn nun schon wieder das Volumen berechnen? Es wurde doch nach dem Flächeninhalt des Quadrates gefragt... außerdem hatte ich bei b) ja schon die Grundfläche von ABCD berechnet, also der "normalen" Pyramide....

Wenn du das weißt, dann frag ich mich, wieso du dann das fragst:

Zitat:

nur weiß ich nun keine Formel zur Brechnung des Flächeninhalts einer Pyramide :o(

Und auf diese Bemerkung hab ich eingehakt, da dir in diesem Thread bestimmt schon 3-mal erklärt wurde, wie du den Flächeninhalt der Grundfläche und den Volumsinhalt der Pyramide berechnest.
Das lässt drauf schließen, dass du zu bequem bist, dich nochmals mit den vorigen Posts zu befassen und erwartest, dass man dir die Antwort auf dem Präsentierteller liefert.
Und ja, wir helfen gern und tun dies freiwillig und da denk ich, kann man sich auch vom Fragesteller etwas Eigeninitiative erwarten.

lg kiki

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