Kugel umschreibt Pyramide

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anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »
Kugel umschreibt Pyramide
Habe die folgende Rechnung bis auf c.) durchgerechnet und mir dabei auch nicht sonderlich schwer getan, doch bei Punkt c.) brauche ich bitte einen klienen Tipp!

Das Dreieck ABC A(5/10/6), B(-5/11/7), C - C ist der Schnittpunkt der Geraden g und der Ebene E1 - ist die Basis einer Pyramide mit der Spitze S (-2/0/11).

g:X = (7/6/-3) + s * (4/-6/-5)
E1: 5x - 2y + 6z = 3

a.) gleichung der Ebene durch das Basisdreieck (bereits gelöst)
b.) höhe der Pyramide, Fläche des Dreiecks, Winkel zw. AB und AS (bereits gelöst)
c.) Wie lautet die Gleichung jener Kugel, die man der pyramide umschreiben kann?
So, und da hört sich mein können auf, ich bräuchte einen kleinen tipp!
ich weiß, dass die kugelgleichung allgemein:

(x-m1)²+(y-m2)²+(z-m3)² = r²

lautet, wie ich diese aber bei dem beispiel anwende ist mir nicht ganz klar!

verwirrt

Edit: Titel inhaltsgemäß formuliert.
Johko
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche einen kleinen Tipp
Du musst den Mittelpunkt und den Radius der Kugel finden und zwar muss der Mittelpunkt so liegen, dass jeder Punkt der Pyramide auf der Kugeloberfläche liegt.
Somit weiß man, dass der Mittelpunkt irgendwo auf der Höhe der Pyramide liegen muss, und von diesem muss der Abstand zu jedem Eckpunkt der Pyramide gleich ( = Radius der Kugel) sein.

lg kiki
 
 
anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche einen kleinen Tipp
ja das ist mir relativ klar, dass der mittelpunkt auf der höhe liegen muss, aber ich weiss eben nicht wie ich ihn berechnen kann, gibt es dafür irgendeine formel, bzw. mit welchen, mir zur verfügung stehenden angaben aus meiner rechnung kann ich diesen bekommen?

Der radius ist dann einfach der Betrag vom Mittelpunkt zu irgend einem eckpunkt oder?

lg anja smile
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche einen kleinen Tipp
da wird dir wohl nichts anderes übrig bleiben, als die 4 punkte in die kugelgl. einzusetzen:

usw.
K((-1/4/3),9)
w
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche einen kleinen Tipp
Somit weiß man, dass der Mittelpunkt irgendwo auf der Höhe der Pyramide liegen muss,

stimmt nur wenns sich um eine senkrechte (symmetrische) Pyramide handelt . hihi
.
anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »

ah danke!

aber wenn i alle einsetzte, dann komm i ja trotzdem nit auf den Radius! oder ergibt sich der irgendwie?
anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »

ajo und wie kum i dann auf m1 und m2 und m3?

sorry i bin voll die mathe niete

Hilfe
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

du hast die 4 punkte A, B...., und deren koo setzt du jeweils in die allg. kugelgleichung ein, wie ich es für den Punkt A(5/10/6) gemacht habe, das kannst du machen, weil sie ja auf dieser kugel liegen sollen.
da hast du dann 4 gleichungen für m1, m2, m3 und r(^2). da sich die quadrate (außer für r, das nur als quadrat vorkommt/-kumt) wegkürzen, hast du ein lineares gls. für m1, m2, m3 und r^2.
nach endloser rechnerei und mit viel glück kommst du dann auf die genannten werte (immer vorausgesetzt, ich habe mich nicht verrechnet und du a ned!)
w
anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »

ah danke!
war echt nett, dass du mir geholfen hast!

Mit Zunge
anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »

könnest du mir vielleicht dei genaue rechnung eine schreiben, i hab irgendwo einen rechenfehler gemacht! deine lösung stimmt, so ist sie auch im lösungsbuch!

danke im voraus
Freude
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Poste mal deinen Rechenweg, dann schauen wir, wo der Fehler liegt.
Wir rechnen fast nie Augenzwinkern Beispiele vor.

lg kiki
anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »

ja wart das könnte ein bisschen dauern! ihr sollt ja auch nicht vorrechnen, sondern durch das zeigen des beispiels denkanstöße geben!
Hilfe
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn wir das Beispiel zeigen sollen, dann müssen wir es doch vorrechnen. Außerdem lernt man aus eigenen Fehlern viel besser.Und dann kann man dir gleich noch sagen, was du vielleicht noch üben solltest
anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »

ja das is mir schon klar!

also i hab jetzt einmal alle punkte eingesetzt!
(5 - m1)² + (10 - m2)² + (6-m3)² = r²
(-5 - m1)² + (11 - m2)² + (7 - m3)² = r²
(3 - m1)² + (12 - m2)² + (2-m3)² = r²
(-2-m1)² + (0 - m2)² + (11-m3)² = r²

ja dann hab i die erste und die zweite gleichgesetzt und dann is bei mir rausgekommen:

m3 = 17 - m2

aber i bin mir nit sicher ob man das so einfach gleichsetzten kann! und wenn ja, wie rechne i da jetzt dann weiter? wie komm i genau auf radius?

weil wenn i dann:

-34 + 2m2 + 17 - m2 = r²
und dann is :
-17 + m2 = r²!!!!

das is bei mir die letzte zeile! is das soweit richtig?
wenn ja wie komm i dann weiter?
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Poste doch mal, wie du die 1. und die 2. gleichgesetzt hast.
Vielleicht liegt da schon der Fehler - mit Zwischenschritten bitte smile .

lg kiki
anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »

also:

25-10m1+m1²+100-20m2+m2²+36-12m3+m3²=25-10m1+m1²+121-22m2+m2²+49-14m3+m3²

so dann: lösen sich: 25, 10m1 und die quadrate auf!

100 - 20m2 + 36 - 12m3 = 121 -22m2 + 49 - 14 m3

dann hab i zusammengefasst:

-34 +2m2 + 2m3 = 0

und dann aufgelöst nach m2:

m2 = 2m3/2 + 34/2
m2 = m3 + 17

-34 + 2 * (m3+17) + 2m3 = 0
-34 + 2m3 + 34 + 2m3 = 0

daraus folgt:
m3 = 0

und dass stimmt aber nit, da m3 eigentlich 3 sein müsste!
anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »

besser gesagt:

es kommt dann bei mir raus:

0 = 0

weil sich ja das m3 auch noch aufhebt!
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Du darfst doch nicht zurückeinsetzen, denn das besagt ja dann nur, dass du richtig gerechnet hast.

Das, was du hier gemacht hast, musst du mit allen 4 Gleichungen machen - so dass 3 Gleichungen mit 3 Variablen entstehen.

Das ganze funktioniert so wie die Umkehraufgaben beim Differenzieren, da hat man ja auch oft 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten.

lg kiki
anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »

hm

dass heisst ich stelle alle vier gleichungen auf:

I : 25-10m1+m1²+100-20m2+m2²+36-12m3+m3²=r²
II: 25-10m1+m1²+121-22m2+m2²+49-14m3+m3²=r²
III: 9-6m1+m1²+144-24m2+m2²+4-4m3+m3²=r²
IV: 4+4m1+m1²+m2²+121-22m3+m3²=r²

hm aber wie kann ich da jetzt weiterrechnen das ich für m1, m2 oder m3 bzw. dem radius eine zahl heraus bekomme! habe echt keine ahnung!

lg anja
anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab da jetzt ungefär 20x verschieden gleichgesetzt und bekomm aber immer das falsche raus, ich weiß nicht mehr genau wie das geht! bitte könnte es mir jemad zeigen! danke
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ich setze für m1, m2, m3 x, y, z
aus I und II erhält man -20x + 2y + 2z = 34 (1)
aus III und IV -10x - 24y + 18z = -32 (2)
daraus errechnet man:

wenn du das nun oben einsetzt, kommt richtigerweise z = 0 heraus.
daher noch eine gleichung
I und IV ergibt:
-14x - 20y + 10z = -36 (3)
und wenn du hier für x und y einsetzt, erhältst du wunschgemäß und endlich
z = 3
der rest ist dann klar
w

ich sehe gerade: du hast in II einen VZ-fehler: 25+10m1+-....

@anja: wenn du mir eine pn schickst, solltest du schon zulassen, dass ich dir darauf antworten kann!
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