Ableitung bei grenzwertberechnung

28.03.2005, 15:13

eldios

Ableitung bei grenzwertberechnung

Hallo!
ich hab eine aufgabe bei der man folgen auf grenzwerte untersuchen soll!
bei einer teilaufgabe soll man erst was mit vollständiger induktion zeigen und dann miit dem ergebnis den grenzwert berechnen. Also aufgabe lautet:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~ \frac{k+1}{3^{k}} \end{eqnarray*}$
man soll jetz mit vollständiger Induktion zeigen, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~ \frac{k}{3^{k}}= \frac{3}{4}- \frac{3+2*n}{4*3^{n}} \end{eqnarray*}$

ich hab es soweit geschaft:

IA: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \frac{k}{3^{k}}= \frac{3}{4}- \frac{3+2*n}{4*3^{n}}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ bei n=1

IB: das es gilt für alle n+1

IS:
um an ende zukommen hab ich dann das gemacht $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~ \frac{k}{ 3^{k}}= \frac{3}{4}+\frac{3+2*(n+1)}{4*3^{n+1}}= \frac{3}{4}- \frac{5+2*n}{4*3^{n+1}} \end{eqnarray*}$
bzw damit ichweiss was rauskommen muss.

weiter hab ich dann für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~ \frac{k}{ 3^{k}}+n+1 \end{eqnarray*}$
das $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}- \frac{3+2*n}{4*3^{n}+n+1} \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

um auf einen bruch zu bringen:
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}-\frac{3+2n}{4*3^{n}}+\frac{4*3^{n}*(n+1)}{4*3^{n}} \end{eqnarray*}$

da kommt dann raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}-\frac{(3+2n)+4*3^n*(n+1)}{4*3^{n}} \end{eqnarray*}$
un nu hab ich keinen plan ob das soweit richtig ist und wie ich ejtzt weitermachen soll??!!

danke für hilfe
mfg
eld

edit: latex-Codes verbesssert, für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1} \end{eqnarray*}$ musst du "\sum_{k=0}^{n+1}" schreiben, Exponenten müssen immer in geschweifte Klammern! (MSS)

28.03.2005, 22:29

Mathespezialschüler

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hhhm, also erstmal weiß ich nicht, was das mit Ableitungen zu tun hat? verwirrt

Und dann ist deine Formel auf jeden Fall falsch! Vielleicht verbesserst du sie erstmal, bevor wir hier irgendwas sagen. Komischerweise ist nämlich schon dein Induktionsanfang falsch, das hast du wohl gar nicht überprüft. Vielleicht meinst du ja

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~ \frac{k}{3^k}= \frac{3}{4}- \frac{3+2\cdot n}{4\cdot 3^n} \end{eqnarray*}$

Diese Formel habe ich nämlich auch grad mal schnell mit Induktion bewiesen.

29.03.2005, 09:31

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es kann sich nur um die Formel von MSS handeln.Denn der Induktionsanfang ergibt keinesfalls 1.Hier ist schon mal ein Fehler unterlaufen.

Allerdings scheint mit der Beweis etwas zu durcheinander

29.03.2005, 11:09

eldios

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so hab das mal verbessert ist das nun nachvollziebar was ich da versucht habe???

29.03.2005, 18:27

Mathespezialschüler

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Ne, is nich so nachvollziehbar.
Ich finde, solche Induktionsbeweise sind die einfachsten. Da braucht man nur die Summe aufteilen, dann die Induktionsvoraussetzung einsetzen und umformen.
1. Induktionsanfang: Du musst das wirklich zeigen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^1~ \frac{k}{3^k}=\frac{0}{3^0}+\frac{1}{3^1}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}- \frac{3+2\cdot 1}{4\cdot 3^1}= \frac{3}{4}- \frac{5}{12}= \frac{9}{12}- \frac{5}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist es ja gut, wenn du dir mal aufschreibst, was rauskommen müsste beim Induktionsschritt, das hast du ja gemacht. Und jetzt hast du ja schon begonnen, die Induktionsvoraussetzung einzusetzen. Allerdings ist schon

Zitat:

weiter hab ich dann für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~ \frac{k}{ 3^{k}}+n+1 \end{eqnarray*}$
das $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}- \frac{3+2*n}{4*3^{n}+n+1} \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

falsch!
Du summierst doch hier nicht n+1, sondern der (n+1). Summand ist doch $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{3^{n+1}} \end{eqnarray*}$ !
Außerdem musst du die Induktionsvoraussetzung natürlich für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{k}{3^k} \end{eqnarray*}$ einsetzen!
Du musst das also so machen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}~ \frac{k}{3^k}=\left(\sum_{k=0}^n~ \frac{k}{3^k}\right)+\frac{n+1}{3^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Jetzt für die Summe die Induktionsvoraussetzung einsetzen und dann wieder versuchen, es umzuformen. Augenzwinkern

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