nochma Gaußsche Zahlenebene

28.03.2005, 23:08

ReneS79

nochma Gaußsche Zahlenebene

Hallo!

Ich habe hier auch nochmal so ne ähnliche Aufgabe wie vor kurzem.

AUFGABE: Stelle folgende Produktmenge Z={z=x+yj | |z+j|=<2} in der gaußschen Zahleebene dar.

So. Jetzt setze ich doch erstma wieder ein.

|x+yj+j|=<2

Also nächstes den Betrag auflösen. Jetzt weis ich aber nicht, ob das einzelne j zu j² wird und das ist ja -1 oder ob es wegfällt?

Also so $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+y^2-1} \leq 2 \end{eqnarray*}$

oder nur so $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+y^2} \leq 2 \end{eqnarray*}$

Was von beiden ist jetzt richtig. Was mache ich dann als nächstes. Erstmal die Wurzel auflösen und dann??

Brauche nochma ein paar Tipps dazu.

Danke
Rene

28.03.2005, 23:10

Calvin

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RE: nochma Gaußsche Zahlenebene
Klammer mal ein j aus. Dann siehst du, was dein Real- und Imaginärteil ist.

28.03.2005, 23:27

ReneS79

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Wie meinst das bzw. wo soll ich jetzt ein "j" ausklammern, um dann zu sehen was Real und was Imaginäteil ist?

Bitte zeig mir das mal.

gruss
Rene

28.03.2005, 23:31

Mathespezialschüler

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Du kannst eine komplexe Zahl immer auf die Form a+bj bringen! Hier hast du mal wieder drei Summanden, da ist also was faul! Ausklammern:

$\begin{eqnarray*} x+yj+j=x+(y+1)j \end{eqnarray*}$

!! Das Ergebnis dürfte nun klar sein (es kommt ein Kreis raus)!
Übrigens ist das eine sehr bekannte Darstellung eines Kreises, denn der Betrag der Differenz zweier komplexer Zahlen $\begin{eqnarray*} z_1,\ z_2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} |z_1-z_2| \end{eqnarray*}$ ist gerade der Abstand zwischen ihnen. Ist c eine komplexe Zahl und r eine positive reelle Zahl, so ist also die Menge

$\begin{eqnarray*} \{z\in \mathbb C\ \left|\right.\ |z-c|< r\} \end{eqnarray*}$

gerade das Innere des Kreises mit dem Mittelpunkt c und dem Radius r. Entsprechend ist

$\begin{eqnarray*} \{z\in \mathbb C\ \left|\right.\ |z-c|=r\} \end{eqnarray*}$

die Peripherie des gerade angesprochenen Kreises.

28.03.2005, 23:33

Calvin

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Den Betrag einer komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} z=x+jy \end{eqnarray*}$ berechnet sich aus $\begin{eqnarray*} \mid z \mid = \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ . Dabei ist x der Realteil von z und y der Imaginärteil von z. Beachte, dass das j nicht zum Imaginärteil gehört. Ist ein gern gemachter Fehler!

Du mußt also den Real- und Imaginärteil der Zahl $\begin{eqnarray*} x+jy+j \end{eqnarray*}$ bestimmen. Dazu mußt du es in eine Form bringen, in der ein j vorkommt und dieses mit einer rellen Zahl multipliziert wird. In diesem Fall kannst du ein j ausklammern.

$\begin{eqnarray*} jy+j=j(y+1) \end{eqnarray*}$

Dann kannst du den Betrag bestimmen.

Edit
Ich schreib mir hier die Finger wund und MSS bringt es auf den Punkt *grummel* Augenzwinkern

29.03.2005, 11:18

ReneS79

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Danke erstmal.

So ich habe jetzt das Ganze mal weiter gerechnet. Also Beträge aufgelöst, dann die Binomische Formel (y+1)² und dann wieder über die quadratische Ergänzung gegangen und bin zu Schluss auf ein Ergebnis von

|z+1|=<4

gekommen. Aber müste da nicht ein Minus laut Def in dem Betrag sein?

Und vorallem wie würde ich den Kreis jetzt einzeichnen. Also ich hätte ja einen Kreis mit dem Radius 4, aber wo würde ich jetzt den Mittelpkt im Koordinatensystem festlegen?? Das hatte ich bei meinem letzten Beitrag noch vergressen zu fragen.

Danke
Rene

29.03.2005, 18:42

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von ReneS79
Also Beträge aufgelöst, dann die Binomische Formel (y+1)² und dann wieder über die quadratische Ergänzung gegangen und bin zu Schluss auf ein Ergebnis von

|z+1|=<4

gekommen.

Das möchte ich bitte einmal sehen, diese Rechnung. 1. ist sie falsch (weil das Ergebnis falsch ist) und 2. unnötig! Wir waren ja oben schon bei

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+(y+1)^2}\leq 2 \end{eqnarray*}$

oder also

$\begin{eqnarray*} x^2+(y+1)^2\leq 4 \end{eqnarray*}$

Das ist doch eine völlig bekannte (Un)gleichung oder? Die musst du kennen! Die Gleichung

$\begin{eqnarray*} (x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

ist die Gleichung eines Kreises mit Radius r und Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} (x_M,y_M) \end{eqnarray*}$ , genauer: Es ist die Gleichung der Kreislinie dieses Kreises. Kannst du dich daran erinnern? Entsprechend beschreibt

$\begin{eqnarray*} (x-x_M)^2+(y-y_M)^2\leq r^2 \end{eqnarray*}$

gerade das Innere (einschließlich Kreislinie) eines Kreises mit Radius r und Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} (x_M,y_M) \end{eqnarray*}$ .
Und jetzt guck dir nochmal deine Ungleichung an:

$\begin{eqnarray*} x^2+(y+1)^2\leq 4 \end{eqnarray*}$

oder anders:

$\begin{eqnarray*} (x-0)^2+(y-(-1))^2\leq 2^2 \end{eqnarray*}$

und vergleiche mit dem, was ich geschrieben habe. Was ist das also?

Zitat:

Original von ReneS79Und vorallem wie würde ich den Kreis jetzt einzeichnen. Also ich hätte ja einen Kreis mit dem Radius 4, aber wo würde ich jetzt den Mittelpkt im Koordinatensystem festlegen?? Das hatte ich bei meinem letzten Beitrag noch vergressen zu fragen.

Der Radius ist 2, siehe oben. Oben ist auch die erste Möglichkeit, ihn einzuzeichnen, ich hab dir ja schon fast alles verraten. Und die komplexe Möglichkeit:

Zitat:

Ist c eine komplexe Zahl und r eine positive reelle Zahl, so ist also die Menge

$\begin{eqnarray*} \{z\in \mathbb C\ \left|\right.\ |z-c|<r\} \end{eqnarray*}$

gerade das Innere des Kreises mit dem Mittelpunkt c und dem Radius r. Entsprechend ist

$\begin{eqnarray*} \{z\in \mathbb C\ \left|\right.\ |z-c|=r\} \end{eqnarray*}$

die Peripherie des gerade angesprochenen Kreises.

Dass nun die Menge

$\begin{eqnarray*} \{z\in \mathbb C\ \left|\right.\ |z-c|\leq r\} \end{eqnarray*}$

gerade das Innere einschließlich der Kreislinie des Kreises mit dem Mittelpunkt c und dem Radius r ist, dürfte nun klar sein.

29.03.2005, 19:16

ReneS79

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Hmmm...

Also wäre der Mittelpunkt x=0 und y=-1 mit dem Radius 2. Oder sehe ich das jetzt falsch.

Wenn ich das ganze jetzt komplex betrachte, dann ist doch der Radius 4 oda?
Und die x und y Koordinaten bleiben gleich??

Habe davon leida einen sorichtigen Plan. Muss es halt nur können, denn wenn ich Pech habe, kommts morgen in der Klausur dran.

gruss
Rene

30.03.2005, 00:30

Mathespezialschüler

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Wenn du es einmal mit x- und y-Koordinaten betrachtest und dann komplex, muss doch dasselbe rauskommen, wie soll da einmal der Radius 2 und einmal 4 sein??
Dein erstes Ergebnis $\begin{eqnarray*} (x_0=0,\ y_0=-1,\ r=2) \end{eqnarray*}$ ist aber richtig.

Dass $\begin{eqnarray*} |z+1|\leq 4 \end{eqnarray*}$ falsch ist, habe ich oben schon gesagt! Ich weiß nicht, wie du darauf kommst! Aber es ist doch ganz einfach: Wenn du es komplex betrachten willst, brauchst du doch gar nicht rechnen!!
Aufgabe: Stelle die Menge

$\begin{eqnarray*} \mathrm{Z}=\{z=x+yj\ \left|\right.\ |z+j|\leq 2\} \end{eqnarray*}$

in der Gaußschen Zahlenebene dar, wobei x und y beliebige reelle Zahlen sind.
Z ist nichts anderes als die Menge

$\begin{eqnarray*} \mathrm{Z}=\{z\in \mathbb C\ \left|\right.\ |z-(-j)|\leq 2\} \end{eqnarray*}$

Und ich habe geschrieben:

Zitat:

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