Laplacegleichung/Randwertaufgabe

29.03.2005, 00:39	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Laplacegleichung/Randwertaufgabe Hallo, ich hab ein kleines Problem mit folgender Randwertaufgabe: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Aufgabe durch einen Separationsansatz: $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2}{\partial x^2} u = - \frac{\partial^2 }{\partial y^2}u \end{eqnarray}$ Der Separationsansatz $\begin{eqnarray} u(x,y)=v(x)w(y) \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} \frac{1}{v}\frac{\partial^2}{\partial x^2} v = - \frac{1}{w}\frac{\partial^2}{\partial y^2}w = \lambda^2 = const. \end{eqnarray}$ Somit ist $\begin{eqnarray} (e^{\lambda x}, e^{-\lambda x}) \end{eqnarray}$ ein Fundamentalsystem für v und $\begin{eqnarray} (\cos(\lambda y), \sin(\lambda y)) \end{eqnarray}$ eines für w. Die gegebenen Randbedingungen waren u(x,b) = 0 ( 0 <= y <= b) (Ich vermute, hier ist 0 <= x <=a gemeint) u(0,y) = 0 ( 0 <= y <= b) u(a,y) = 0 ( 0 <= y <= b) u(x,0) = 1 ( 0 < x < a ) Dabei habe ich zunächst u(0,y) = u(a,y) = 0 für u übersetzt in die Randbedingung v(0) =v(a) = 0 für v. Wenn ich jetzt allerdings $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ aus der Determinantenbedingung $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} e^{\lambda 0} & e^{-\lambda 0} \\ e^{-\lambda a} & e^{\lambda a} \end{vmatrix}=0 \end{eqnarray}$ bestimmen will, bekomme ich als einzige Möglichkeit $\begin{eqnarray} \lambda = 0 \end{eqnarray}$ . Wäre schön, wenn mir jemand sagen könnte, wo mein Denkfehler liegt. Gruß MisterSeaman
29.03.2005, 14:48	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist da eigentlich nur eine Unstetigkeit in den Randbedingungen aufgefallen: u(x,0)=1 für alle x aber u(0,0)=0 , wegen u(0,y)=0 für y=0 und u(a,0)=0 , wegen u(a,y)=0 für y=0 Aber ob es von Bedeutung ist ...
29.03.2005, 15:04	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich hatte die Intervalle vergessen. Hab sie jetzt oben dazueditiert.
29.03.2005, 18:43	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mal nachgelesen, und da steht, man soll nicht mit dem Ansatz $\begin{eqnarray} \frac{1}{v}\frac{\partial^2}{\partial x^2} v = - \frac{1}{w}\frac{\partial^2}{\partial y^2}w = \lambda^2 = const. \end{eqnarray}$ rechnen (Zitat: da sich mit nichtnegativen Werten $\begin{eqnarray} \lambda^2 \end{eqnarray}$ nur die triviale Lösung u=0 ergibt), sondern mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{v}\frac{\partial^2}{\partial x^2} v = - \frac{1}{w}\frac{\partial^2}{\partial y^2}w = -\lambda^2 = const. \end{eqnarray}$ Vielleicht hilft das ja ....
29.03.2005, 20:14	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das tut es in der Tat! : Vielen Dank!

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