Bedingte Wahrscheinlichkeiten

29.03.2005, 16:38	Poldi	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Wahrscheinlichkeiten Hallo Ihr Lieben, bei folgender Aufgabe kommt mir meine Lösung etwas merkwürdig vor, aber ich finde keinen Fehler: "Eine gewisse Krankheit kommt in der Bevölkerung bei einem Anteil von $\begin{eqnarray} 10^{-5} \end{eqnarray}$ der Personen vor. Ein medizinische Diagnose liefert bei einer kranken Person mit der Wahrscheinlichkeit 0,99 ein positives Ergebnis. Bei einer gesunden Person ist das Ergebnis mir der Wahrscheinlichkeit 0,99 negativ. Was ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine positiv getestete Person krank ist?" Hier meine Lösung: K = krank G = gesund p = positiv getestet n = negativ getestet gesucht: $\begin{eqnarray} P (K \mid p ) \end{eqnarray}$ gegeben: $\begin{eqnarray} P (K) = 10^{-5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P (p \mid K )= 0,99 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P (n \mid G )= 0,99 \end{eqnarray}$ Ich habe gefolgert: $\begin{eqnarray} P (G)= 1-10^{-5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P (p \mid G )=1- 0,99=0,01 \end{eqnarray}$ Nach der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit gilt: $\begin{eqnarray} P(p) = P (p \mid K ) \cdot P(K) + P (p \mid G ) \cdot P(G) = 0,0100098 \end{eqnarray}$ Nach der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit gilt: $\begin{eqnarray} P (p \cap K ) = P (p \mid K ) \cdot P(K) = 0,99 \cdot 10^{-5} \end{eqnarray}$ und: $\begin{eqnarray} P (K \mid p ) = \frac{P(K \cap p)}{P(p)} = \frac{0,99 \cdot 10^{-5}}{0,0100098}=0,000989 \end{eqnarray}$ Das würde aber doch bedeuten, dass eine positiv getestete Person mit einer Wahrscheinlichkeit von noch nicht mal 0,1 Prozent überhaupt krank ist. Das scheint mir ein bißchen wenig! Aber wo ist denn der Fehler??? Ich hoffe, mir kann jemand helfen. Gruß Poldi
29.03.2005, 18:07	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Rechnung ist vollkommen richtig! Der Verblüffungseffekt ist durchaus Absicht solcher Aufgaben. Wenn du immer noch Zweifel hast, rechne das ganze doch mal für eine bestimmte Anzahl Leute durch - sagen wir eine Million: Dann sind im Mittel 10 dieser Leute krank, der Rest gesund. Der Test wird vermutlich alle diese 10 Leute herausfinden, aber auch (wegen der Irrtumswahrscheinlichkeit von 1%) von der fast einen Million gesunder Leute auch ca. 10000 positiv testen. Vielleicht verstehst du so die 0,1% besser.
29.03.2005, 18:26	Poldi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, Du vollkommen recht! Und Dein Beispiel veranschaulicht das total gut!!! Am meisten freut mich aber, dass ich richtig gerechnet habe .... Vielen Dank!!!!! Gruß Poldi
30.03.2005, 14:11	jovi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und das wirklich tragische an dieser Aufgabe ist, dass sie im realen Leben täglich vorkommt, und in den meisten Fällen nicht richtig interpretiert wird. (Von den behandelnden Medizinern und den Beratern in den diversen Beratungszentren.) Dazu gibt es Untersuchungen und ich habe mal einen (ausnahmsweise) guten Vortrag darüber gehört - von Prof. Gerd Gigerenzer.

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