Abstand Gerade und Ebene

29.03.2005, 16:57

OnkelStephan

Abstand Gerade und Ebene

Hi

Ich habe folgende Ebene:

$\begin{eqnarray*} E:F=1x-1y-1z=1 \end{eqnarray*}$

und diese Gerade:

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und soll nun den Abstand bestimmen!

Wie mache ich das?

mfg

OnkelStephan

29.03.2005, 17:10

DGU

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dafür gibt es eine Formel:

für den abstand einer Ebene $\begin{eqnarray*} a_1x+a_2y+a_3z=b \end{eqnarray*}$ von einem Punkt R $\begin{eqnarray*} (r_1|r_2|r_3) \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} d=\left|\frac{a_1r_1+a_2r_2+a_3r_3-b}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}\right| \end{eqnarray*}$ |

29.03.2005, 18:06

JochenX

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wie kommst du auf den punkt, DGU?
sollte man vielleicht noch erwähnen.

@onkel: du befindest dich im IR³, also im 3D-Raum.
die gerade schneidet die ebene (dann trivial) oder sie ist parallel (wenn sie wiederum in der ebene liegt isses wiederum trivial)
mehr möglichkeiten gibt es nicht.

also erst mal die trivialen fälle ausschließen.
wenn du dann weißt, die gerade ist parallel zur ebene, dann hat jeder punkt der gerade den gleichen abstand (edit: von der ebene meine ich hier!).
also kannst du einen beliebigen geradenpunkt für die formel nehmen.

wenn du diese formel nicht kennst oder wie ich sowas nicht magst, dann melde dich noch mal, dann machen wir das auf umwegen Augenzwinkern

mfg jochen

29.03.2005, 18:42

OnkelStephan1

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also
Hi

Ich habe gerade gemerkt das die Ebene und die Gerade paralell liegen! Ich kann also die Formel von DGU nehmen! Da weis ich auch wie es geht! Aber wie mach ich das wenn die beiden nicht paralell liegen?

mfg

OnkelStephan

29.03.2005, 18:48

JochenX

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lies mal meinen beitrag oben
dann ist es trivial, weil sie sich dann schneiden.

mfg jochen

29.03.2005, 18:56

riwe

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RE: also
wenn du "die gerade in die ebene einsetzt", erhälst du entweder 1 lösung -> schnittpunkt, keine lösung -> parallel (wie hier) oder unendlich viele lösungen -> g liegt in e
(hier hat du 4 = 1, also keine lösung)
w

30.03.2005, 09:13

DGU

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@LOED: ich mag solche formeln eigentlich auch nicht, aber wenn es schneller geht...

naja, sonst könnte man vom Punkt auf die Ebene das Lot fällen (Normalenvektor als Richtungsvektor der Geraden, Punkt als Aufpunkt), dann den Durchstoßpunkt von Lot und Ebene bestimmen und dann den Abstand von Durchstoßpunkt und Punkt berechnen (Betrag d. Vektors)

30.03.2005, 09:48

riwe

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Zitat:

Original von DGU
@LOED: ich mag solche formeln eigentlich auch nicht, aber wenn es schneller geht...

naja, sonst könnte man vom Punkt auf die Ebene das Lot fällen (Normalenvektor als Richtungsvektor der Geraden, Punkt als Aufpunkt), dann den Durchstoßpunkt von Lot und Ebene bestimmen und dann den Abstand von Durchstoßpunkt und Punkt berechnen (Betrag d. Vektors)

diese formel schaut nur wild aus, das ist die HNF, die ist eine der wenigen, die man sich merken sollte
w

02.05.2005, 00:00

Mandracke

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erstmal HI ZUSAMMEN....

da ich jetzt nicht extra nen neuen Threat aufmachen wollte zum ansich gleichen Thema, schreib ich das jetzt einfach mal mit hier rein.

Also ich soll den Abstand einer Geraden zu einer Ebene bestimmen, hab aber keinen blassen schimmer wie. Ich weiß grad mal wie man den Abstand eines Punktes zu einer Ebene bestimmt. Also per NV bzw. per HNV.
Ich muss dazu sagen das wir das mit der Geraden zur Ebene erst die Tage durchnehmen, unser Dozent wollte das nur schonmal zum "Rumprobieren" als Aufgabe geben. Und zwar sind die Daten folgendermaßen:

die Ebene hat die Punkte: A (1|-3|0), B(2|4|1), C(3|-5|2)
und die Gerade um die es dann geht ist: g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und es soll eben der Abstand der Ebene zur Gerade bzw Gerade zu Ebene bestimmt werden. Und das letzte was wir gemacht haben war eben wie man den Normaleneinheitsvektor bestimmt. Also sprich die HNV.
Die Ebenengleichung hab ich schon aufgestellt, aber ich weiß echt nicht weiter. Hat mal einen nen Tip oder 2 Big Laugh

02.05.2005, 00:15

riwe

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E: x - z - 1 = 0
durch einsetzen sieht man, sind parallel, s.o, du kannst also die HNF verwenden
$\begin{eqnarray*} d=\frac{x_A-z_A-1}{ \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2} }{2} \end{eqnarray*}$
werner

02.05.2005, 02:58

Mandracke

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Danke Werner für die schnelle Antwort. Sorry wenn ich da nochmal nachfrage, aber könntest du mir das evtl ein bisschen erklären? Ich mein ich versteh nicht so ganz wieso die -1 bzw wo die herkommt.

02.05.2005, 12:17

riwe

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gerne:
von vorne weg.
da ich die koo-form für die HNF benötige, erstelle ich die ebenengl. über die normalvektorform
$\begin{eqnarray*} \vec{AB} =\begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \;\vec{AC} =\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{n} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\vec{x} -\begin{pmatrix} 1 \\-3 \\ 0\end{pmatrix}) \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} =0\Rightarrow x-z-1=0 \end{eqnarray*}$
nun die HNF
$\begin{eqnarray*} \frac{x-z-1}{ \sqrt{1+0+1}} =0 \end{eqnarray*}$
und nun die koo des aufpunktes der geraden einsetzen
$\begin{eqnarray*} d=\mid \frac{4-2-1}{ \sqrt{2}} \mid =\frac{\sqrt{2} }{2} \end{eqnarray*}$
werner

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