Lineare Abhängigkeit

29.03.2005, 17:48

The_Lion

Lineare Abhängigkeit

Hi.
Hab hier ne Aufgabe, die ich versuche zu lösen:

Es gilt ja aus der Aufgabenstellung:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1\vec{v_1}+...+\lambda_2\vec{v_n}\ = \vec{0} => \lambda_1 = \lambda_2=...=\lambda_n=0 \end{eqnarray*}$ , weil die ja erstmal linear unabhängig sind.
Und jetzt kommen die $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \end{eqnarray*}$ ins Spiel.

Wenn ich das richtig verstehe, dann ist es ja logisch, dass die Vektoren jetzt, nachdem man die Null aus K rausnimmt, auch lin. unabhängig sind, weil das Gleichungssystem jetzt gar keine Lösung mehr hat, wobei früher nur die triviale Lösung galt.
Wie macht man das formal.

Danke.

edit: Ich habe die Aufgabe im Anhang. Ich muss einfahc mal latex richtig lernen. Es geht um Aufgabe 2 a)

29.03.2005, 17:54

bReet

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SO NICHT MEIN FREUND! smile

29.03.2005, 17:55

JochenX

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auf diese art und weise unlesbar, bitte erst den tex-code korrigieren!

mfg jochen

edit: sogar dabei bin ich zu spät Augenzwinkern

okay:

Zitat:

weil das Gleichungssystem jetzt gar keine Lösung mehr hat

da hast du was missverstanden, 0 ist schon noch in K, nur deine alten vektoren werden mit elementen aus K* skalarmultipliziert.
denk da noch mal drüber nach!

29.03.2005, 18:44

The_Lion

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war etwass irritierit wegen 2 Wegen: (hab auch im Muster nachgesehen.)

1.) $\begin{eqnarray*} \lambda_1 ( a_1\vec{v_1})+...+ \lambda_n ( a_n\vec{v_n}) = 0 \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} (\lambda_1 a_1)\vec{v_1}+...+ (\lambda_n a_n)\vec{v_n} = 0 \end{eqnarray*}$

ich dachte kurz folgendes:
weil die $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ alle vorher = 0 waren (da lin. unabhängig) wird das Produkt $\begin{eqnarray*} (\lambda_i a_i) \end{eqnarray*}$ mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ ja auch =0 . natürlich müsste man die hier erstmal kommutieren lassen und dann das lamda an den vektor binden. Dann hätten wir überall durch die S-Multiplikation den Nullvektor und alle wären linear abhängig.
natürlich müsste man die hier erstmal kommutieren lassen und dann das lamda an den vektor binden.

Aber anscheinend darf man das so nicht angehen.

2. Weg: eigentlich dasselbe , nur andere Begründung:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 ( a_1\vec{v_1})+...+ \lambda_n ( a_n\vec{v_n}) = 0 \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} (\lambda_1 a_1)\vec{v_1}+...+ (\lambda_n a_n)\vec{v_n} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\lambda_i a_i) \in K \forall i \end{eqnarray*}$

weil alle v_1 bis v_n lin unabhängig => $\begin{eqnarray*} (\lambda_1 a_1)= ...=(\lambda_n a_n) = 0 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = ... = \lambda_n = 0 \end{eqnarray*}$ => lin. unabhängig.

eigentlich müsste man hier $\begin{eqnarray*} \lambda ' \end{eqnarray*}$ am Ende wählen! ?

29.03.2005, 19:04

JochenX

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der 2. weg sieht so doch sehr gut aus...
natürlich darfst du deswegen $\begin{eqnarray*} a_i \lambda_i=0 =>\lambda_i=0 \end{eqnarray*}$ folgern, weil die a_i <> 0 sind.

ob lambda oder lambda' ist hier doch jacke wie hose, aber wenn du willst, dann nenn die neuen ruhig anders....

mfg jochen

29.03.2005, 19:39

The_Lion

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Ist hier die Bedingung $\begin{eqnarray*} a_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ notwendig, da man sich sonst den Nulvektor basteln würde (und somit alles linear abhängig wäre ) ?

29.03.2005, 19:41

JochenX

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sei obdA a1=0
dann folgt aus (lambda1*a1)=0 überhaupt nichts für lambda1.

aber du musst ja zeigen, dass die lambdas 0 sind.

klar?

edit: aber das mit dem nullvektor ist natürlich auch eine (wenn auch unnötige) möglichkeit, dass einzusehen...

29.03.2005, 19:52

The_Lion

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ok,

danke.

29.03.2005, 22:13

The_Lion

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wie geht man denn Aufgabe 2c ) an ?

die eckigen Klammern < > sollen bedeuten : lineare Hülle von v_1,...,v_i usw

ich habe mir erst mal (vielleicht Unsinn) das aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \{\sum _{j=1}^i \lambda_j\vec{v_j}\} \cap \{\sum _{j=i+1}^n \lambda_j\vec{v_j}\} \end{eqnarray*}$ , weil das ja erst einmal das bedeutet.

30.03.2005, 10:46

JochenX

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2 möglichkeiten:

1)
Annahme: da liege ein element x<>0 im schnitt, dann liegt x in beiden mengen drin => widerspruch basteln, einfach

2) liege ein element x im schnitt => .... => x=0

mfg jochen

02.04.2005, 13:52

The_Lion

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Hätte noch ne andere Aufgabe.

Seien V, W K-Vektorräume und f : V --W lineare Abbildung.

Zeigen Sie: Ist $\begin{eqnarray*} \vec{v_1},...,\vec{v_n} \end{eqnarray*}$ linear abhängig, dann sind auch $\begin{eqnarray*} f(\vec{v_1}),...,f(\vec{v_n}) \end{eqnarray*}$ linear abhängig:

Ich habe es so gemacht:

$\begin{eqnarray*} \vec{v_1},...,\vec{v_n} \end{eqnarray*}$ linear abhängig, also $\begin{eqnarray*} \sum_ {i=1}^n \lambda_i\vec{v_i} = \vec{0} \ => (*) \exists i \ mit \ \lambda_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ (die Bedingung nenn ich mal (*) ) und $\begin{eqnarray*} \sum_ {i=1}^n \lambda_i f(\vec{v_i}) = \sum_ {i=1}^n f(\lambda_i\vec{v_i}) = f(\lambda_1\vec{v_1})+...+f(\lambda_n\vec{v_n}) \ => Behauptung, wegen (*) \end{eqnarray*}$

Wäre das so möglich, oder mache ich einen Denkfehler und mir fehlen noch Dinge, die ich einfach benutze bzw DInge, die ich noch zeigen muss ?

Danke.

02.04.2005, 14:07

Anirahtak

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Hallo,

ich kann dein Argument nicht ganz nachvollziehen. Ich finde auch deine "übersetzung" von linearer Abhängigkeit ein wenig unglücklich.
Argumentiere doch so:

v_i sind linear abhängig, das heißt doch, ich kann jede als Linearkombination der anderen schreiben, also:

$\begin{eqnarray*} v_1=\sum_{i=2}^n~{\lambda}_i v_i \end{eqnarray*}$

Und jetzt berechne f(v_1).

Was stellst du fest?

Gruß
Anirahtak

02.04.2005, 14:09

Tobias

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$\begin{eqnarray*} f(\vec{0}) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{0} = \lambda_1v_1 + \ldots + \lambda_nv_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\vec{0}) = f(\lambda_1v_1 + \ldots + \lambda_nv_n) = \lambda_1f(v_1) + \ldots + \lambda_nf(v_n) \end{eqnarray*}$

Jetzt nur noch Bedinung (*).

03.04.2005, 01:42

The_Lion

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Zitat:

Original von Anirahtak
v_i sind linear abhängig, das heißt doch, ich kann jede als Linearkombination der anderen schreiben, also:

$\begin{eqnarray*} v_1=\sum_{i=2}^n~{\lambda}_i v_i \end{eqnarray*}$

das stimmt aber nicht im allgemeinen. Denn wenn v_1,...,v_n linear abhängig sind, dann kann man mindestens einen der Vektoren als Linearkombination der anderen schreiben, nicht jeden, wie Du sagst.

und jetzt zu Tobias' Vorschlag. genau das habe ich gar nicht bedacht.

f(0) = 0.

Danke.

Aber so ganz falsch ist mein Versuch doch nicht oder ? Habe bloß f(0) = 0 nicht stehen.

03.04.2005, 11:31

Anirahtak

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Du hast Recht. Dann ist OBdA v_1 dieser Vektor und das ganze passt.

Gruß
Anirahtak

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