Erwartungswert

27.09.2007, 13:35

piloan

Erwartungswert

Eine Frage:
Den Erwartungswert kann ich ja genauso ueber die erzeugenden Funktion bestimmen.
Diese hat zB die Gestalt:

$\begin{eqnarray*} g_X (t)=\sum_{k=0}^{\infty}~p_k t^k \end{eqnarray*}$ und konvergiert mind auf $\begin{eqnarray*} t\in [-1,1] \end{eqnarray*}$ absolut.

Der Erwartungswert wird ja dann definiert durch:

$\begin{eqnarray*} g'_X (1)=E(X) \end{eqnarray*}$

Nun ist hier die Frage, warum diese Berechnung erlaubt ist.
Aber ich frage mich ,was denn hier passieren kann. Die Reihe konvergiert doch absolut im Intervall [-1,1].
Grüße

27.09.2007, 18:05

20_Cent

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Mh, ich verstehe deine Frage nicht.

Du kannst die 1 in die Ableitung einsetzen, und es kommt genau die Formel für den EW raus, die ich kenne...

$\begin{eqnarray*} E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}~k p_k \end{eqnarray*}$

mfG 20

27.09.2007, 18:16

piloan

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Ja das stimmt.
Ich hab nur ein Frage aus einer Pruefung gesehen, wo gefragt worden ist, warum man das machen darf.
Als Antwort kommt etwas mit Konvergenz und Abelschen Grenzwertsatz.
Das hat mir aber auch nicht viel gesagt, deswegen frag ich nochmal smile

28.09.2007, 16:54

20_Cent

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Potenzreihen sind diffbar auf ihrem Konvergenzradius (stimmt das?) mit gliedweiser Differentiation.
Damit hast du die Begründung.
mfG 20

28.09.2007, 17:55

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Zitat:

Original von 20_Cent
Potenzreihen sind diffbar auf ihrem Konvergenzradius (stimmt das?)

@20_Cent

Etwas genauer bitte: Gliedweise Differenzierbarkeit ist zunächst nur auf $\begin{eqnarray*} (-r,r) \end{eqnarray*}$ gesichert, d.h., es gilt

$\begin{eqnarray*} g_X' (t) = h(t) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} -r<t<r \end{eqnarray*}$ ,

wenn man $\begin{eqnarray*} h(t) := \sum_{k=1}^{\infty}~p_k kt^{k-1} \end{eqnarray*}$ definiert, hier ist natürlich Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ .

Aus dem Abelschen Grenzwertsatz kann man nun aber folgern: Konvergiert auch $\begin{eqnarray*} h(r) \end{eqnarray*}$ absolut, dann ist $\begin{eqnarray*} h(t) \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} t=r \end{eqnarray*}$ zumindest linksseitig stetig, woraus

$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_{k=1}^{\infty}~p_k k = \lim\limits_{t\nearrow 1} g_X'(t) \end{eqnarray*}$

folgt.

Diese Konvergenz ist durchaus nicht selbstverständlich, denn bei Zufallsgrößen ohne Erwartungswert ist sie nicht vorhanden.

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