Taylorpolynomen und Entwicklungsstellen

29.03.2005, 21:11

MasterSchaab

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Taylorpolynomen und Entwicklungsstellen

Hallo Leute

Ich habe folgendes Problem:

Eine Schulaufgabe lautete:
Entwickle mithilfe des Taylorpolynoms die Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x)=1/x \end{eqnarray*}$ mit Entwicklungsstelle 1 und $\begin{eqnarray*} g(x)=e^{3x} \end{eqnarray*}$ mit Entwicklungsstelle 1.

Da hab ich mich natürlich erst einmal an die Ableitungen gemacht und folgende allgemeine Formen formuliert:

$\begin{eqnarray*} f^n(x)=(-1)^n * ((n!)/x^{n+1}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g^n(x)=3^n * e^{3x} \end{eqnarray*}$

Naja und da ich mir im Unterricht anscheinend was falsch notiert habe weiß ich jetzt nicht wie ich weiter verfahren soll.

Ich hoffe jemand kann mir mit den nächsten Schritten etwas helfen.

Vielen Dank schon mal.

29.03.2005, 23:50

carsten

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Ich habe jetzt zwar keines zur Hand, aber ich nehme mal an unter "Taylorentwicklung" oder "Taylorreihe" findet sich die Formel im Tafelwerk.

Gruesse Carsten

30.03.2005, 00:11

Mathespezialschüler

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Verschoben

Auf was für einer Schule bist du?? verwirrt

verwirrt

Man schreibt übrigens für die n. Ableitung eher $\begin{eqnarray*} f^{(n)} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} f^n \end{eqnarray*}$ .
Und wie kennst du denn die Taylorformel? Kannst ja mal zeigen, was du aufgeschrieben hast, dann sagen wir, was daran falsch ist oder auch nicht ...

31.03.2005, 18:36

MasterSchaab

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Hi sorry das es so lange gedauert hat.

Ich gehe in die 12te Klasse eines Gymnasiums (also Abitur).

Taylorpolynom um die Entwicklingsstelle a:

$\begin{eqnarray*} t(x)=(((f^{(n-1)}(a))*(x-a)^{(n-1)})/((n-1)!)+(((f^{(n-2)}(a))*(x-a)^{(n-2)})/((n-2)!)+ ....... + (((f''(a))*(x-a)^2)/(2*1))+(((f'(a))*(x-a)/(1))+f(a) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe du kannst mir etwas unter die Arme greifen.+

Bis dann.

31.03.2005, 18:52

etzwane

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Fang doch mit den niedrigsten Ableitungen an:

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(a)+\frac{x-a}{1!}f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a)+\frac{(x-a)^4}{4!}f^{(4)}(a)+...+R_n \end{eqnarray*}$

Nun kennst du für deine Aufgaben die Entwicklungsstelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und die Ableitungen $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(a) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt einfach einsetzen.

Oder mach vorher zur Übung die Potenzreihenentwicklung von $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$ für x=0, das Ergebnis steht so in jeder Formelsammlung:
$\begin{eqnarray*} e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+... \end{eqnarray*}$

01.04.2005, 11:11

MasterSchaab

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Zitat:

Original von etzwane
Fang doch mit den niedrigsten Ableitungen an:

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(a)+\frac{x-a}{1!}f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a)+\frac{(x-a)^4}{4!}f^{(4)}(a)+...+R_n \end{eqnarray*}$

Nun kennst du für deine Aufgaben die Entwicklungsstelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und die Ableitungen $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(a) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt einfach einsetzen.

Oder mach vorher zur Übung die Potenzreihenentwicklung von $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$ für x=0, das Ergebnis steht so in jeder Formelsammlung:
$\begin{eqnarray*} e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+... \end{eqnarray*}$

Hmmm

verwirrt

also wäre das Taylorpolynom für die erste Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}=\sum_{i=0}^n \frac{(x-a)^i}{(i!*x^i)} \end{eqnarray*}$

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01.04.2005, 11:19

etzwane

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ich glaube nicht verwirrt

verwirrt

, habe aber selbst noch nicht gerechnet.

Hast du das wesentlich einfachere Beispiel für e^x gemacht ?
Ich würde auf jeden Fall damit erstmal anfangen.

EDIT: Folgendes ergänzt:

Deine Rechnung stimmt nicht, du musst für a=1 einsetzen, ebenso bei den Ableitungen das x durch a=1 ersetzen.

01.04.2005, 11:32

MasterSchaab

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$\begin{eqnarray*} e^x= \sum_{i=0}^n \frac{1}{i!}x^i \end{eqnarray*}$

hab ich da raus bekommen

hmm mom ich versuchs ma

01.04.2005, 11:51

etzwane

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Wunderbar, und wenn du die andere Aufgabe nachgerechnet hast, ergänze dein Ergebnis doch gleich um die ersten Glieder (ausgeschrieben). So muss man nicht erst umdenken und erkennt vor allen Dingen, wie sich dir Potenzreihe entwickelt (linear, quadratisch oder wie auch immer).

01.04.2005, 11:51

MasterSchaab

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}=\sum_{i=0}^n \frac{(x-a)^i}{(i!*x^i)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}=\sum_{i=0}^n \frac{((x-1)^i)}{i!} \end{eqnarray*}$

Hehe das kann aber nich stimmen oder? a=1 hab ich eingesetzt aber wenn ich in der Ableitung x durch a=1 ersetze bekomme ich ne 1^i in den Nenner.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}=1+\frac{(x-1)²}{2}+\frac{(x-1)³}{6}......... \end{eqnarray*}$

01.04.2005, 12:21

etzwane

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RE: Taylorpolynomen und Entwicklungsstellen
Nein, stimmt auch nicht, außerdem fehlt in der gliedweisen Darstellung das Glied mit (x-1)^1.

Du hattest doch für die Ableitungen von 1/x schon herausgefunden $\begin{eqnarray*} f^n(x)=(-1)^n * ((n!)/x^{n+1}) \end{eqnarray*}$

Nun für x=a einsetzen, ergibt erstmals $\begin{eqnarray*} f^n(a)=(-1)^n * ((n!)/a^{n+1}) \end{eqnarray*}$

Und jetzt für a=1 einsetzen, ergibt $\begin{eqnarray*} f^n(1)=(-1)^n*(n!) \end{eqnarray*}$ wegen 1^n = n, und die Ableitungen haben somit wechselnde Vorzeichen !

Jetzt einsetzen in die Reihenentwicklung und darauf achten, was man wegkürzen kann.

01.04.2005, 15:22

MasterSchaab

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}=\sum_{i=0}^n \frac{((x-1)^i)*(-1)^i}{1}=\sum_{i=0}^n ((x-1)^i)*(-1)^i \end{eqnarray*}$

also das i! würde sich wegkürzen und wenn ich mich net total irre müsste dat richtig sein Oo

01.04.2005, 15:55

etzwane

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so hab ich es auch, smile

smile

.

Und wenn dir das Ergebnis genauer anschaust, denn erkennst du evtl. auch eine unendliche geometrische Reihe mit konstantem Faktor q, deren Summe du mit einfachen Mitteln errechnen könntest ...

01.04.2005, 15:56

Mathespezialschüler

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Jetzt ist es richtig!

01.04.2005, 18:44

MasterSchaab

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Wenn ich das Prinzip richtig verstanden habe müsste die zweite gleichung mit
$\begin{eqnarray*} g(x)=e^{3x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g^{(n)}(x)=e^{3x}*3^n \end{eqnarray*}$

folgendermaßen lauten:

$\begin{eqnarray*} e^{3x}=\sum_{i=0}^n \frac{((x-1)^i)}{i!}*e^3*3^i=e^3 \sum_{i=0}^n \frac{((x-1)^i)*(3)^i}{i!} \end{eqnarray*}$

Ich bedanke mich für eure Hilfe Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das wird ne Klausuraufgabe und im Unterricht hab ich dieses Taylorzeugs überhaupt nich verstanden smile

smile

01.04.2005, 19:24

etzwane

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Sieht gut aus, dein Ergebnis.

Und wieder zeigt sich: Übung macht den den Meister !

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