Frage zu Tschebyscheff

29.03.2005, 22:31

Unicorn

Frage zu Tschebyscheff

Ich habe folgenden Aufgabe, die ich mit meinen minimaen Stochastik Kenntnissen als Biologien nicht lösen kann, aber dringend eine Lösung brauche. Ich wäre euch wirklich sehr dankbar, wenn mir da jemand hilft Hilfe

Und es vielelicht ein bißchen erklären kann... smile

Wie oft muss ein Würfel gewirfen werden, damit das arithmetische Mittel der Augenzahlen mit einer Sicherheit von 60 % um weniger als 0,25 vom Erwartungswert (3,5) eines Wurfes abweicht?

Könnte das Tschebyscheff sein???

Danke euch schonmal Mit Zunge

30.03.2005, 09:10

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Du kannst die "Restwahrscheinlichkeit" (d.h., dass der Mittelwert außerhalb des gesuchten Intervalles liegt) durch

a) Tschebyscheff nach oben abschätzen,
b) durch Normalverteilung (als Grenzverteilung nach Zentralem Grenzwertsatz) approximieren.

Mit a) bist du auf der sicheren Seite, aber die ermittelte Anzahl ist viel höher als eigentlich nötig. b) ist da genauer, allerdings kann zumindest bei "kleinen" n der Approximationsfehler in der falschen Richtung liegen. Es gibt dann noch Varianten, die sicher wie a) sind und wesentlich genauer als a), andererseits aber aufwändiger als a) und b), wie z.B.

c) Normalverteilungsapproximation inklusive Abschätzung des Approximationsfehlers unter Benutzung der Ungleichung von Berry-Esseen.

30.03.2005, 16:09

Unicorn

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Danke

!

Aber ich komme trotzdem nicht weiter. Wo setzte ich denn die 60% bei Tschbey. ein? verwirrt

Ich bin eine völlige Null auf dem Gebeit der Stochastik Hammer

30.03.2005, 16:55

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Du brauchst Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}~X_1 \end{eqnarray*}$ und Varianz $\begin{eqnarray*} \mathrm{var}~X_1 \end{eqnarray*}$ der Augenzahl eines Wurfes. Daraus kannst du dann einfach die entsprechenden Größen $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}~\bar{X}=\mathbb{E}~X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathrm{var}~\bar{X}=\frac{1}{n}\mathrm{var}~X_1 \end{eqnarray*}$ für den Mittelwert von n Augenzahlen ausrechnen. Schließlich benutzt du die Tschebyscheff-Ungleichung

$\begin{eqnarray*} P\left(\left|Z-\mathbb{E}~Z\right|<\varepsilon\right)\geq 1-\frac{\mathrm{var}~Z}{\varepsilon^2} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} Z=\bar{X},\;\varepsilon=0.25 \end{eqnarray*}$ folgendermaßen:

Wenn die rechte Seite größer als 60% = 0.6 ist, dann erst recht die linke Seite (also eine hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung). Und in der rechten Seite steckt ja $\begin{eqnarray*} \mathrm{var}~\bar{X} \end{eqnarray*}$ , was von n abhängig ist:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{\mathrm{var}~X_1}{n\cdot 0.25^2}\geq 0.6 \end{eqnarray*}$

Das kannst du dann noch nach n umformen - fertig. Natürlich musst du dazu noch $\begin{eqnarray*} \mathrm{var}~X_1 \end{eqnarray*}$ bestimmen, aber alles wollte ich ja schließlich nicht vorrechnen! Augenzwinkern

30.03.2005, 18:53

Unicorn

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Hallo

Super, du bist spitze! Danke!! Freude

Ich habe als Ergenis raus, dass man 1,37 mla werfen muss oder 1 mal. Kann das richtig sein verwirrt

Also der Erwartungswert für einen Wurf ist 3,5 und die Varianz ist 2,92

Dann steht da:

Weg 1

1- ( 2,92 / n*0,0625) >0,6

1- (2,92/n) > 0,004

1 - (1/n) > 0,0014

1/n > -0,99

n > -1,00

Weg 2, mit der Formel aus dem Gesetz für Große Zahlen

1 - ( [1/6 * 5/6] / n*0,0625) > 0,6

1 - [(5/36) / n] > 0,0375

1 - (1/n) > 0,27

n > 1,37

Hammer

Welcher der beiden Wege stimmt jetzt.... oder gar keiner....
Hilfe

Vielleicht kann ich dir ja auch mal helfen... nur nicht in Mathe smile

30.03.2005, 19:53

jovi

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Das Problem ist, dass deine Umformungen in allen Zeilen nicht richtig nachvollziehbar sind, weil du wohl dauernd Sachen machst wie eine eigenwillige Interpretation der Klammern und
wie z.B. $\begin{eqnarray*} 1-\frac{a}{b} > c \end{eqnarray*}$ geht über in $\begin{eqnarray*} 1-a > b*c \end{eqnarray*}$
Richtiger wäre: geht über in $\begin{eqnarray*} b-a > b*c \end{eqnarray*}$ , aber einfacher ist es das $\begin{eqnarray*} (1- ...) \end{eqnarray*}$ erst einmal loszuwerden.

31.03.2005, 09:56

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Ich kann jovi nur zustimmen, und will deshalb mal nur hervorheben, was im Beitrag richtig ist:

Zitat:

Original von Unicorn
Also der Erwartungswert für einen Wurf ist 3,5 und die Varianz ist 2,92

Dann steht da:

Weg 1

1- ( 2,92 / n*0,0625) >0,6

Wenn du von der letzten Zeile ausgehend umformst, kommst du auf eine hinreichende Abschätzung von n nach Tschebyscheff.

Weg 2 kann ich bei dir überhaupt nicht nachvollziehen. z.B. sehe ich da keinerlei Normalverteilungsquantile, die dort zwangsläufig Verwendung finden müssen!

31.03.2005, 10:23

Leopold

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RE: Tschebyscheff??... Hilfe....

Zitat:

Original von Unicorn
Wie oft muss ein Würfel gewirfen werden, damit das arithmetische Mittel der Augenzahlen mit einer Sicherheit von 60 % um weniger als 0,25 vom Erwartungswert (3,5) eines Wurfes abweicht?

Könnte das Tschebyscheff sein???

Typisch Stochastik! Ich kenne solche Aufgabentypen. Vom Aufgabenlöser wird eine bestimmte Technik erwartet (hier deutet alles auf Tschebyscheff hin), aber die Fragestellung dazu ist falsch.

Richtig müßte es z.B. so heißen:

Geben Sie mit Hilfe der Tschebyscheff-Ungleichung eine Mindestzahl an Würfen an, die Ihnen garantiert, daß das arithmetische Mittel der Augenzahlen mit einer Sicherheit von mindestens 60 % um weniger als 0,25 vom Erwartungswert eines Wurfes abweicht.

Aber man will dem Prüfling natürlich nicht gleich Tschebyscheff in den Mund legen. Also stellt man lieber eine falsche Frage! Gräßlich!
Ich bin so froh, daß ich diese falsche Mathematik in Baden-Württemberg nicht mehr unterrichten muß.

31.03.2005, 11:07

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RE: Tschebyscheff??... Hilfe....

Zitat:

Original von Leopold
Typisch Stochastik!

Frage: Kann man ein Teilgebiet der Mathematik dafür in Haft nehmen, was unfähige Schullehrplangestalter in deutschen Landen so ausbrüten?

Meine Haltung dazu habe ich mehrfach hier im Board ausgesprochen: Generelle Streichung der Stochastik aus den Gymnasiallehrplänen - die meisten Lehrer scheinen total überfordert zu sein, was soll dann noch für die Schüler rausspringen!

P.S.: Ich sage auch nicht, dass Geschichte wertlos und unwichtig ist, nur weil mir in meiner Schulzeit Aufgaben aufgezwungen wurden wie
"Begründen Sie, warum der Sieg des Sozialismus historisch gesetzmäßig ist!"

31.03.2005, 11:22

Leopold

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Nein, natürlich ist die Stochastik nicht wertlos!
Aber diese Fragestellung ist schon typisch Stochastik. Man will, um den Bezug zur Realität möglichst herauszuheben, das Ganze schön umgangssprachlich formulieren. Und verliert dabei die Korrektheit ...

Und ich könnte wetten, daß du solche und ähnliche Fragestellungen auch in Hochschulbüchern zur Wahrscheinlichkeitsrechnung findest. Ich habe jetzt nur keine Lust zu suchen ...

P.S. Und was hast du auf die Frage zum Sieg des Sozialismus geantwortet? (Wahrscheinlich das, was deine Marximus-Leninismus-Lehrer hören wollten ... Haben die das eigentlich geglaubt, was sie unterrichtet haben? Oder hat der eine oder andere dir augenzwinkernd zu verstehen gegeben: Junge, schreib das halt hin, was im Buch steht, und nimm das Ganze nicht so ernst!)

31.03.2005, 11:48

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Zitat:

Original von Leopold
P.S. Und was hast du auf die Frage zum Sieg des Sozialismus geantwortet?

Das vertagen wir mal in einen anderen Thread, du weißt schon, welchen... Augenzwinkern

Übrigens: Die exakte Antwort auf die Ursprungsfrage lautet n=34, 35 sowie n>=37, ermittelbar durch n-fache Faltung der Würfelaugenverteilung. Netter Diskretisierungseffekt bei n=36. Big Laugh

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