Fragen zu [Matrizen]-[Rechnen mit Matrizen]

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09.02.2004, 13:32

jama

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Fragen zu [Matrizen]-[Rechnen mit Matrizen]

stellt hier eure fragen zum kapitel "Rechnen mit Matrizen" aus dem workshop "Matrizen"

gruß,

jama

03.11.2004, 14:14

Neuling

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RE: Fragen zu [Matrizen]-[Rechnen mit Matrizen]
Hallo!
Ich hätte da mal eine Frage zu einer Aufgabe:

Sei A=
-1 4 -1
1 -3 1 Element M33 (R).
1 -1 0

Ich soll nun eine Matrix M bestimmen, so dass MA= B ist.

B ist zum Beispiel:
2 1 4
0 0 -7
4 5 3

Ich dachte mir jetzt, dass ich einfach ausprobiere, was mit -1 multipliziert 2 ergibt, was mit 4 multipliziert 1 ergibt und so weiter. Aber kann ich Brüche in eine Matrix schreiben, wie hier zum Beispiel 4 mal 1/4= 1??
UNd was ist, wenn ich wie in der letzten Spalte irgendetwas mit 0
multiplizieren soll, was 3 ergibt???
Hat jemand einen LÖsungsvorschlag? Wäre toll!! Danke im Voraus und lg

29.12.2004, 20:57

ubs

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Hallo hab da auch ne Frage, wenn ich jetzt z.B. ne Matrize hab mit 3 Spalten und 3 Zeilen, kann ich die Determinante ausrechnen. Wie sieht es bei einer 4x4 Matrix, bei der 3er bekomm ich das Ergeb. mit der Diagonalrechnung........ und bei der 4er? Hilfe

29.12.2004, 22:30

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Bei der Vierer wird das, so weit ich mich erinnern kann, nicht mehr so leicht.

Du kennst die Regel von Sarrus für 3x3- Matrizen. Die funktioniert bei 4x4 nicht mehr. Ich weiß nur nicht mehr genau, wie sie berechnet werden.

30.12.2004, 02:26

Mazze

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Folgendes:

Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix, bzw einer Matrix in Zeilenstufenform (Begriffe äquivalent) ist das Produkt ihrer Diagonalelemente der mittleren Diagonalen. Bsp:

die Determinante folgender Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 0 & 13 \\ 0 & 0 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist

48 nämlich 3*4*1*4

Das gilt nur für Matrizen deren Einträge unterhalb der Hauptdiagonalen gleich 0 sind. Jede Matrix kann durch äquivalenzumformungen auf diese Form gebracht werden mit Hilfe des Gaußalgorithmus, dazu sei gesagt. Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren ändert die Determinante nicht. Vertauschen von Zeilen und Spalten jedoch ändert das Vorzeichen der Determinante!
Wenn Du den Gaußalgorithmus beherrschst und die Vorgaben beachtest kannst Du so von jeder x belibiegen quadratischen Matrix die Determinante berechnen. Ansonsten gibt es noch den Entwicklungssatz von laplace. Dieser ist besonders dann hilfreich wenn viele Nullen in der Matrix sind. Du kannst gern danach googlen, bei Fragen, stellen!

30.12.2004, 02:30

iammrvip

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bei einer 3x3 matrix ist es einfach. gleich mal allgemein:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann verlängerst du die determinante bildlich gesprochen.

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} \begin{matrix} a & b \\ d & e \\ g & h \end{matrix} \end{eqnarray*}$

jetzt kannst du dir eine linie immer diagonal von oben, nach unten ziehen und davon das produkt bilden. also z.b. aei, cdh. von allen diagonalen bildest du dann die summe. auf diese weise erhälst du die determinante:

$\begin{eqnarray*} \text{det}(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi \end{eqnarray*}$

30.12.2004, 09:10

ubs

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Zitat:

Original von iammrvip
bei einer 3x3 matrix ist es einfach. gleich mal allgemein:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann verlängerst du die determinante bildlich gesprochen.

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} \begin{matrix} a & b \\ d & e \\ g & h \end{matrix} \end{eqnarray*}$

jetzt kannst du dir eine linie immer diagonal von oben, nach unten ziehen und davon das produkt bilden. also z.b. aei, cdh. von allen diagonalen bildest du dann die summe. auf diese weise erhälst du die determinante:

$\begin{eqnarray*} \text{det}(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi \end{eqnarray*}$

genau das kannte ich schon...... Augenzwinkern

30.12.2004, 10:35

klarsoweit

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RE: Fragen zu [Matrizen]-[Rechnen mit Matrizen]

Zitat:

Original von Neuling
Ich dachte mir jetzt, dass ich einfach ausprobiere, was mit -1 multipliziert 2 ergibt, was mit 4 multipliziert 1 ergibt und so weiter.

total falsch, weißt du eigentlich, wie Matrizen multipliziert werden?
Also die Matrizen sind:
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} -1 & 4 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -7 \\ 4 & 5 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Gesucht ist eine Matrix M mit M * A = B
Also ist M = B * A^-1 wobei A^-1 die inverse Matrix von A ist, sofern diese existiert.
Du mußt also die inverse Matrix von A bestimmen. Weißt du, wie das geht? Grundvoraussetzung ist natürlich das Wissen um die Matrizen-Multiplikation.

30.12.2004, 12:10

ubs

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nochmal ich, hab mir jetzt mal das Gaußverfahren angeschaut, ist soweit klar, wie sieht es aus, wenn einige x Fehlen, was mach ich dann hier z.B.

x1 + x2 + x3 +x4 = 0
x1 + x2 + 2x4 = 0
2x1 + x3 +x4 = 0
x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 0

in der Aufgabe soll ich die Determinante berechnen, aber wenn ich Gauß nehme, bekomme ich doch die x werte und nicht die Det.? Und was mach ich mit den leeren Stellen?

so, nun noch ne Frage zur Cramerschen Regel:

hier die Aufgabe:

A=
2 4
4 1

b=
16
11

leider bekomm ich als erstes mal für die Det. -14 raus, aber dann hab ich 2 und 4,4 raus, kann mir das jemand nachrechnen? in der Musterlösung steht 0 und 6

THX UBS

30.12.2004, 13:29

ubs

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Zitat:

Original von Mazze
Folgendes:

Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix, bzw einer Matrix in Zeilenstufenform (Begriffe äquivalent) ist das Produkt ihrer Diagonalelemente der mittleren Diagonalen. Bsp:

die Determinante folgender Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 0 & 13 \\ 0 & 0 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist

48 nämlich 3*4*1*4

Das gilt nur für Matrizen deren Einträge unterhalb der Hauptdiagonalen gleich 0 sind. Jede Matrix kann durch äquivalenzumformungen auf diese Form gebracht werden mit Hilfe des Gaußalgorithmus, dazu sei gesagt. Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren ändert die Determinante nicht. Vertauschen von Zeilen und Spalten jedoch ändert das Vorzeichen der Determinante!
Wenn Du den Gaußalgorithmus beherrschst und die Vorgaben beachtest kannst Du so von jeder x belibiegen quadratischen Matrix die Determinante berechnen. Ansonsten gibt es noch den Entwicklungssatz von laplace. Dieser ist besonders dann hilfreich wenn viele Nullen in der Matrix sind. Du kannst gern danach googlen, bei Fragen, stellen!

Hi, mit dem Gauß Verf. bekomm ich doch nur die ganzen x raus, wie komm ich dann auf die Det?

30.12.2004, 18:42

ubs

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ok, das hab ich nun verstanden:

Das gilt nur für Matrizen deren Einträge unterhalb der Hauptdiagonalen gleich 0 sind. Jede Matrix kann durch äquivalenzumformungen auf diese Form gebracht werden mit Hilfe des Gaußalgorithmus, dazu sei gesagt. Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren ändert die Determinante nicht. Vertauschen von Zeilen und Spalten jedoch ändert das Vorzeichen der Determinante!
Wenn Du den Gaußalgorithmus beherrschst und die Vorgaben beachtest kannst Du so von jeder x belibiegen quadratischen Matrix die Determinante berechnen. Ansonsten gibt es noch den Entwicklungssatz von laplace. Dieser ist besonders dann hilfreich wenn viele Nullen in der Matrix sind. Du kannst gern danach googlen, bei Fragen, stellen!

aber das geht doch oft gar nicht, wenn ich das erste x1 immer null setzen will bekomm ich doch nicht automatisch auch immer das x2 =0. Bei meinem Bsp geht das so z.B. nicht aber ich glaub auch dass hier die Det 0 ist.:

Ist das wirklich auch ein gebräuchliches Verfahren, wenn die Matriz größer als 3x3 ist? Macht man das in der praxis so?

30.12.2004, 19:52

Mazze

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1. Nutze bitte die editfunktion 3 Posts hintereinander sehen einfach hässlich aus

2.

Zitat:

Ist das wirklich auch ein gebräuchliches Verfahren, wenn die Matriz größer als 3x3 ist? Macht man das in der praxis so?

Dieses Verfahren wird mit einigen extra Kniffen zum Beispiel in der Programmierung verwendet

Zitat:

wenn ich das erste x1 immer null setzen will bekomm ich doch nicht

Was willst Du bitte Null setzen? Du sollst kein Gleichungssystem lösen, Du sollst die Matrix mittels Gauß umformen.

Zitat:

wie sieht es aus, wenn einige x Fehlen,

x1 + x2 + x4 = x1 + x2 + 0*x3 + x4

Ich zeige Dir jetzt mal Beispielhaft wie man eine Matrix mittels Gauß umformt.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \\ 3 & 1 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich subtrahiere das zweifache der ersten Zeile von der zweiten Zeile es entsteht

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich subtrahiere das 3-fache der ersten Zeile von der dritten Zeile es entsteht

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & -5 & -12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich addiere das 5 Fache der zweiten Zeile zur dritten zeile dazu, es entsteht

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -22 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Determinante der Matrix ist dann 1*1*-22 = -22
Das kannst Du gerne mittel "Jägerzaunmethode" also Regel von Sarrus bestätigen. Der Gaußalgorithmus wird genutzt um Gleichungssysteme umzuformen. Dabei kommt richtig angewendet ein Lösbares Schema heraus. Wenn man eine Matrix umformt tut man nichts anderes als ein Gleichungssystem umzuformen. (Hängt davon ab wie die Matrix interpretiert wird)

01.01.2005, 21:54

hagazussa

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hilfe
Ich hab da grade mal ein brett vorm kopf...
kann mir bitte mal jemand sagen, wie ich folgendes Problem lösen kann:

a Wurzel 28
= LK
x 6

Danke für die Hilfe

Das rgebnis ist nebensächlich ich möchte eher nur wissen, wie man soetwas rechnet.
Danke schon mal

02.01.2005, 10:43

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Moment, um dir die Frage beantworten zu können, müssten wir mal wissen, was genau da steht. Nimm am besten den Formeleditor.

$\begin{eqnarray*} \sqrt[a]{28} = LK x6 ?? \end{eqnarray*}$

02.01.2005, 15:55

hagazussa

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$\begin{eqnarray*} _{x}^a =LK _{6}^{\sqrt{28}} \end{eqnarray*}$

und ich soll x als Teil eines normierten Vektors berechnen wobeo x >o

02.01.2005, 16:09

Bebbo Erbse

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Frage?
Hallo, auf der folgenden Seite wird ein Rechenverfahren mit Matrizen erklärt, wobei sich unten eine Aufgabe b) befindet.
http://www.learn-line.nrw.de/angebote/se...gauss/gauss.htm
Die Lösung ist unter dem Bild Lösung zu finden.
Leider finde ich keinen geeigneten Rechenweg, da selbst in der Lösung nur das Ergebnis steht. Kann mir vllt. einer von euch etw. helfen?

02.01.2005, 16:29

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Man sieht, es wird das Gauß- verfahren zur Lösung von LGS erklärt, da musst du nur die einzelnen Zeilen miteinander addieren und subtrahieren, sodass du am Ende für eine Variable einen zahlenwert hast und dann anch und nach auflöst. das ist zwar ein bisschen Schreibarbeit, aber nicht schwer.

02.01.2005, 19:25

Bebbo Erbse

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ja, aber ich finde nicht die geigneten Multiplikationen und Additionen um zu dem Ergebnis wie es in der Lösung steht zu kommen. unglücklich

06.01.2005, 10:50

ubs

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ok, nun hab ich's verstanden, bringt mich aber gleich zur nächsten Frage... ich hab ne Aufgabe, die lautet: ich soll über die Inverse der Matrix die x berechnen........

versteh ich nicht ganz, das kann ich doch schon machen, wenn ich die Obere Dreiecksmatrix bilde... Oder wie soll ich das verstehn? Kann mir da jemand weiterhelfen?

thx

06.01.2005, 11:26

klarsoweit

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du hast ein LGS der Form A*x = b, wobei A eine Matrix und x und b Vektoren sind. Wenn A invertierbar ist, dann folgt: x = A^-1 * b
Mit der oberen Dreiecksmatrix gehts natürlich auch, eventuell auch einfacher. Hier soll eben mal der Weg über die inverse Matrix genommen werden.

06.01.2005, 11:28

Mazze

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folgendes Gleichungssystem ist gegeben

$\begin{eqnarray*} Ax = b \end{eqnarray*}$

Du sollst die Lösung x mit Hilfe der Inversen von A berechnen. Vorrausgesetzt ist also das A regulär ist. Dann forme ich das Gleichungsystem wie folgt um

$\begin{eqnarray*} Ax = b \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} A^{-1}*Ax = A^{-1}*b \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} x = A^{-1}*b \end{eqnarray*}$

Du kannst also x berechnen in dem Du den Ergebnisvektor von links mit der Inversen von A multiplizierst. Jetzt musst Du natuerlich die Inverse berechnen. Die kannst Du natürlich auch mittels Gauß machen, allerdings sollst Du nicht auf Zeilenstufenform umformen. Sondern Du sollst das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} A*A^{-1} = E \end{eqnarray*}$

lösen, wobei E die Einheitsmatrix dimensioniert nach A ist.

06.01.2005, 15:06

ubs

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brauch doch noch kurz einen Schubser.... traurig

Also Mädels ich hab ne Matrix A jetzt hab ich die inverse A^-1 berechnet. Und nun? ein b hab ich ja nicht.....

Muss ich jetzt wieder über das untere dreieck mit den Nullen x1 x2 und x3 ausrechnen? Das wäre ja sehr umständlich. Da gibts doch wieder nen Kniff, hm? Gott

06.01.2005, 15:13

JochenX

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Zitat:

Original von ubs
ok, nun hab ich's verstanden, bringt mich aber gleich zur nächsten Frage... ich hab ne Aufgabe, die lautet: ich soll über die Inverse der Matrix die x berechnen........

versteh ich nicht ganz, das kann ich doch schon machen, wenn ich die Obere Dreiecksmatrix bilde... Oder wie soll ich das verstehn? Kann mir da jemand weiterhelfen?

thx

wenn du keinen lösungsvektor b hast (für den eben A*x=b gelten soll) (er kann auch anders bezeichnet sein), dann verstehe ich obige frage nicht... denn was ist dann x?
also schau noch mal nach, ob sich nicht doch so etwas wie ein lösungsvektor finden lässt!

mfg jochen

06.01.2005, 15:23

ubs

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Hi Jochen, sorry, bin gerade ein bissle durcheinander. b ist doch gegeben.. THX a lot!

06.01.2005, 15:34

JochenX

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okay, dann ist mit mazzes post alles klar?
daran siehst du auch schön, warum so ein LGS genau dann eindeutig lösbar ist, wenn A invertierbar ist (det(A) ungleich 0, falls dir das was sagt)!
merke dir das, das ist oft nützlich!

mfg jochen

22.04.2005, 14:46

redrose112

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hey,
hab so ne dumme textaufgabe und komme nicht so ganz mit der d) und der e) klar deswegen hoffe ich echt dass mir hier jemand helfen kann, muss am montag diese aufgabe vortragen sonst krieg ich ne 5 auf dem Zeugnis, also wäre supi lieb wenn mir jemande helfen könnte: Hier erst mal die aufgabe:

A= 1 3 4
4 2 3
2 1 4
0 4 6

B= 2 3 0
3 2 4
0 2 5

C= 3 0 0
4 2 0
0 0 0
0 2 0
Eine Unternehmung stellt aus 4 Rohstoffen Ri (i=1,2,3,4) die Zwischenprodukte (Zj (J=1,2,3)
und aus den Zwischenprodukten die Endprodukte Ek(k=1,2,3) her. Dabei gehen auch einige Rohstoffe direkt in die Endporduktion ein. A stellt das Verhältnis von den Rohstoffen i und den Zwischenprodukten Zj her. B stellt das Verhältnis der Zwischenprodukte Z j und Endprodukt e her. und die Matrix c stellt die Rohstoffe i und j die Endprodukte.

Die EInkaufspreise der Rohstoffe betragen

Rohstoff r1 r2 R3 r4
EUR/ME 4,5 2,8 3,2 4,8

a) Bestimmen Sie die Rohstoffsverbrauchsmatrix D
b) Bestimmen Sie den Rohstoffeinsatz für die Bestellung (200 100 200) unter Berücksichtigung einer Zwischenlagerung von 5o Me Z1 80 Me Z2 und 100 Me Z3

c) Bestimmen Sie die Materialkosten für die Bestellung 300 400 380 und die Lagerergänzung I= 100, 200 , 150
d) Der Energie und Arbeitsinput pro ME Endprodukte wird durch die MAtrix F angegeben:
E1 E2 E3
F= E (6 8 7)
A (9 10 12)

Bestimmen Sie die Produktionskosten (Material-,ENergie und Arbeitskosten) für den Absatzmengen vektor b= (400 600 500) wenn die Energiekosten 8,5 EUR/ ME und die Arbeitskosten 14 Eur/ME betragen...

*verzweifel* Bitte helft mir ganz dringend , vielen Dank Im Voraus!

14.04.2007, 17:08

The Bearclaw

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So mal ne doofe Frage von mir:

In diesem Thread steht unter Addition:

Zitat:

Addition zweier Matrizen:
Matrizen A und B können addiert werden, sofern ihr Spalten- und Zeilenanzahl übereinstimmt. Bei der Addition werden dann jeweils die entsprechenden Koeffizienten / Elemente addiert.

$\begin{eqnarray*} A + B = (a_{j k}) + (b_{j k}) = (a_{j k} + b_{j k}) \end{eqnarray*}$

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 1 & 1 + 3 \\ 2 + 0 & 5 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt meine Frage: Ist eine Addition von Matrizen möglich, die eine unterschiedliche Spalten- und/oder Zeilenzahl haben?

Z.B. eine m x n - Matrix A addiert mit einer n x l - Matrix B

Oder ist das nicht definiert?

14.04.2007, 17:15

vektorraum

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Hi!

Wieso hast du denn einen alten Thread rausgekramt und keinen neuen aufgemacht??? Wo ist der Zusammenhang???

Zu deiner Frage: Addition oder Subtraktion von Matrizen mit unterschiedlicher Zeilen- oder Spaltenzahl ist nicht möglich. Multiplikation ist möglich, wenn Zeilenzahl der ersten Matrix gleich der Spaltenzahl der zweiten Matrix ist oder umgekehrt analog.

14.04.2007, 17:20

The Bearclaw

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Zitat:

Zu deiner Frage: Addition oder Subtraktion von Matrizen mit unterschiedlicher Zeilen- oder Spaltenzahl ist nicht möglich. Multiplikation ist möglich, wenn Zeilenzahl der ersten Matrix gleich der Spaltenzahl der zweiten Matrix ist oder umgekehrt analog.

Ok, thx!

Zitat:

Wieso hast du denn einen alten Thread rausgekramt und keinen neuen aufgemacht??? Wo ist der Zusammenhang???

1.) Wieso soll es verboten sein, alte Threads rauszukramen?!
2.) Die Matrizenrechnung gibt es schon jahrelang und änderte sich kaum...
3.) Zusammenhang: In diesem Thread stand: "Für Fragen bitte hier posten..."
4.) Es gibt auch Leute, die maulen, wenn man einen extra Thread für eine Frage öffnet ==> man kanns niemandem recht machen...

Zufrieden? smile

09.07.2009, 16:54

maikäfer

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hey leute...
kann man matrizen auch subtrahieren oder nur addieren?
danke schonmal im vorraus

09.07.2009, 17:14

tigerbine

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Man kann sie auch subtrahieren. Augenzwinkern

03.01.2010, 21:16

zwergenaufstand

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wie ist das bei matrizen-multiplikation, wenn es nicht nur 2 matrizen sind sondern z.b. 4 nebeneinander: errechnet man dann zunächst die produkt-matrix der ersten beiden matrizen und multipliziert diese mit der dritten u.s.w. oder wie geht das?

03.01.2010, 21:23

kiste

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Ja.
Natürlich gibt es bei verschiedenen Dimensionen der Matrizen verschieden gute Strategien welche man zuerst nimmt. Das kann man übrigens durch einen Algo mit dynamischen Programmieren rausfinden was ab besten ist

03.01.2010, 21:29

zwergenaufstand

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alles klar, danke für die schnelle antwort! meine frage zielte auf mehrere (einfache)
n x n-matrizen ab, das geht dann ja einfach ohne algorithmus Augenzwinkern

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