Linkskurve/Rechtskurve - Wendepunkte - Seite 2

03.04.2005, 00:22

Mathespezialschüler

Zitat:

Original von kikira
Deswegen heißt der ja Wendepunkt, weil sich am Wendepunkt die Krümmung ändert und die Kurve von links auf rechts sich ändert oder von rechts auf links.

Die Wendepunkte sind doch die Nullstellen der zweiten Ableitung, also

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{\frac{5}{6}},\ 0,\ \sqrt{\frac{5}{6}} \end{eqnarray*}$

Da ändert sich die Krümmung jeweils. Das heißt, da wechselt jeweils das Vorzeichen der 2. Ableitung. So ist z.B. für $\begin{eqnarray*} -\sqrt{\frac{5}{6}}-0,1 \end{eqnarray*}$ die Krümmung negativ und für $\begin{eqnarray*} -\sqrt{\frac{5}{6}}+0,1 \end{eqnarray*}$ positiv. Diese drei Punkte sind also die entscheidenden Stellen, weil sich da die Krümmung ändert, eben weil sie Wendepunkte sind!

03.04.2005, 00:29

kikira

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Die hast DU dir doch selber berechnet.

Nochmal:

Die Krümmung einer Kurve ändert sich immer am Wendepunkt.
Der Wendepunkt hat eine x- und eine y-Koordinate.
Wendepunkte berechnet man sich, indem man die 2. Ableitung 0 setzt, denn f''(x) ist eine andere Schreibweise für das Wort: Krümmung der Kurve.
Man weiß, dass im Wendepunkt die Kurve weder links- noch rechtsgekrümmt ist. Da rechtsgekrümmt eine Minuszahl ist und linksgekrümmt eine Pluszahl und am Wendepunkt steht für einen kurzen Moment das Lenkrad deines Autos gerade - so ist am Wendepunkt die Krümmung der Kurve Null.

Daher setzt man statt f''(x) Null ein und erhält dann die x-Koordinaten aller Wendepunkte, die die Kurve hat.

Du hast folgende Wendepunkte berechnet:

W1 = ( -sqrt(6/5) // f(-sqrt6/5) )
W2 = ( 0 / f(0) )
W3 = ( + sqrt(6/5) // f(+sqrt(6/5) )

Intervalle gibt man aber immer nur von x-Stelle zu x-Stelle bekannt.

Du musst nun untersuchen, von wo bis wo die Kurve links, bzw. rechtsgekrümmt ist.

Deine Kurve schaut so aus:

Wenn du von ganz weit links die Kurve mit dem Auto entlangfährst, dann hast du das Lenkrad immer rechts eingeschlagen und zwar bis du zu W1 kommst, dort musst dann nach links einschlagen.

Daher ist nun dein 1. Bereich (=Intervall) von Minusunendlich bis $\begin{eqnarray*} -\sqrt{\frac{6}{5}} \end{eqnarray*}$

Das heißt: für alle x-Werte, die kleiner als $\begin{eqnarray*} -\sqrt{\frac{6}{5}} \end{eqnarray*}$ sind.

Mathematisch aufgeschrieben heißt das dann:

$\begin{eqnarray*} x < -\sqrt{\frac{6}{5}} \end{eqnarray*}$ Das ist nun dein 1. Bereich = dein 1. Intervall, in dem du die Krümmung untersuchen musst.

Das 2. Intervall liegt zwischen W1 und W2 und reicht daher von $\begin{eqnarray*} -\sqrt{\frac{6}{5}} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .
Daher:

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{\frac{6}{5}} \end{eqnarray*}$ < x < 0 [/latex]

Dein 3. Intervall liegt zwischen W2 und W3.

0 < x < +sqrt(6/5)

und dein 4. Intervall reicht von +sqrt(6/5) bis + Unendlich.

Alles klar nun?

lg kiki

03.04.2005, 00:45

kikooo

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dankeschön Freude

alles sehr verständlich, aber wie mache ich das in der Klausur, wenn ich die Zeichnung nicht vor mir habe???

und noch etwas anderes:

wie löse ich diese funktion nach x auf, um die Nullstellen zu berechnen? :

f(x)=3x³-9x²-3x+9

03.04.2005, 01:17

kikira

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ad 1)

Alle Wendepunkte berechnen, Intervalle einteilen, aus dem 1. Intervall irgendein x in f''(x) einsetzen - wenn positiv, dann ist die Kurve im gesamten 1. Intervall linksgekrümmt, wenn minus, dann rechtsgekrümmt.
Dann aus dem 2. Intervall irgendein x einsetzen und dann gilt diese Krümmung fürs ganze Intervall....aus jedem Intervall ein x entnehmen und in f''(x) einsetzen:

z.b.

1. Intervall :

x < -sqrt(6/5)

Ein x-wert aus diesem Bereich wär z.b. -2, denn das ist ja eine Zahl, die kleiner als -sqrt(6/5) ist und somit ist das ein x-Wert aus dem 1. Intervall.

Nun berechnet man:

f''(x) = 20x³ - 24x

f''(-2) = 20 * (-2)³ - 24 * (-2)

f''(-2) = -112 >> Das ist eine Minuszahl, also ist die Kurve am Punkt (-2 / f(-2)) rechtsgekrümmt. Und da das ein Punkt aus dem Intervall war und die Krümmung sich ja im ganzen Intervall nicht ändert, weiß man nun, dass das ganze 1. Intervall rechts gekrümmt ist.

Und so machst das mit allen Intervallen...

lg kiki

edit:

3x³-9x²-3x+9 = 0

Da musst du eine Lösung suchen gehen, für die die Gleichung stimmt und dann die Gleichung durch ( x - gefundener Lösung) durchdividieren.

Wenn man allerdings ein Gefühl für Zahlen hat und kaum mit dem TR rechnet, sieht man, dass man hier einen Trick anwenden kann:

3x³ - 3x - 9x² + 9 = 0

nun herausheben:

3x * (x² - 1) - 9 * (x² - 1) = 0

(x² - 1) * [ 3x - 9] = 0

Und nun Produkt-Nullsatz anwenden...

lg kiki

03.01.2006, 11:34

GAAAAst

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wie hast du denn die ableitungen überhaupt ausgerechnet???
*geradeaufdemschlauchsteh*

03.01.2006, 12:30

Lazarus

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meinst du die letzte?
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^5-4x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=5x^4-12x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=20x^3-24x \end{eqnarray*}$

nach der potenzenregel:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

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