Linkskurve/Rechtskurve - Wendepunkte

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kikooo Auf diesen Beitrag antworten »
Linkskurve/Rechtskurve - Wendepunkte
Hi,
hab da ein Problem mit den Aufgaben!
Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Bestimme die Intervalle, in denen der Graph von f eine Linkskurve bzw. eine Rechtskurve bildet!

a) f(x)=1/3x³-x
b) f(x)=1/2x²-x+2
c) f(x)=1/4(x-2)^4
d) f(x)=x^5-4x³

Habe leider keine Idee, wie ich an die Aufgabe ran gehen soll traurig

Es wäre nett, wenn ihr mir Ansätze geben würdet...
Smasher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, Wink

Wenn du dir die Funktionen mal zeichnest und dir den Verlauf anschaust,
wo sind linkskurven, rechtskurven und wo sind wendepunkte?



grüße
Henning
 
 
kikooo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, dass wir das rechnerisch ermittlen sollen.
Gibt es dafür einen Lösungsweg?
die lösungen haben wir schon bekommen!
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Stichwort: Wendepunkte!

zweite ableitung..., dritte ableitung ....!
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Krümmung einer Kurve:

f''(x) > 0 , dann Linkskurve

f''(x) < 0 , dann Rechtskurve

f''(0) = 0 , dann normalerweise Wendepunkt, aber auch nicht immer!
kikooo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt habe ich a) und b) gelöst:

a)
f"(x)=2x
Likskurve für x>0 und Rechtskurve für x<0

b)
f"(x)=1
Linkskurve für alle x

aber bei den nächsten beiden brauche ich wieder eure Hilfe.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Warum denn? Brauchst doch nur die zweite Ableitung bestimmen und das Ableiten geht doch genauso wie bei a) und b)!
kikooo Auf diesen Beitrag antworten »

bei c) muss ich doch die klammer auflösen mit dem pascalschen dreick oder?

und bei der d) is f"(x)=20x³-24x
das Problem ist wann ist x> und wann <0???
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das musst du nicht auflösen - viel zu umständlich!



ist die Funktion



nur um 2 nach rechts verschoben. Dann musst du aber die Ableitung



auch nur um 2 nach rechts verschieben, um f' zu erhalten.

Und bei d) klammerst du erstmal 4x aus und bestimmst dann alle Nullstellen und dann überlegst du, welches Vorzeichen deine zweite Ableitung zwischen den Nullstellen bzw. rechts bzw. links davon hat!
kikooo Auf diesen Beitrag antworten »

also
f´(x)=(x-2)³ ????????
dann ist f"(x)=(3x-2)² ??????????
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler

auch nur um 2 nach rechts verschieben, um f' zu erhalten.

... oder die Kettenregel anwenden, falls man die kennt. Augenzwinkern

Zitat:
Original von kikooo
dann ist f"(x)=(3x-2)² ??????????

falsch. Kennst du die Kettenregel?

edit: Doppelpost zusammengefügt, ... Augenzwinkern (MSS)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kikooo
also
f´(x)=(x-2)³ ????????
dann ist f"(x)=(3x-2)² ??????????

f' ist richtig, f'' nicht ganz, aber vielleicht nur ein Tippfehler, überleg nochmal Augenzwinkern

@klarsoweit
Keine Doppelposts! Big Laugh Augenzwinkern
Und ich dachte, wenn kikooo nicht schon selbst auf Anhieb drauf kommt, dann wird wohl die Kettenregel nicht bekannt sein.
kikooo Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe sie noch wage in erinnerung
irgend etwas mit außen und innen oder?

stimmt
f"(x)=3(x-2)²

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetz is es richtig! Freude
kikooo Auf diesen Beitrag antworten »

und wie ist es jetzt mit dem Intervall?
rechtskurve bzw. Linkskurve?
könnt ihr mir nicht mehr weiterhelfen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch nich so schwer! Augenzwinkern
Wann ist denn die 2. Ableitung > und wann <0? Wann wird ein Quadrat überhaupt <0? (Achtung: Fangfrage Augenzwinkern )
kikooo Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube die 2.Ableitung ist immer größer als 0 ?!
ein Quadrat wird nie <0 oder?
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Und was bedeutet das für die Krümmung der Kurve?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, ein Quadrat wird nie <0! Aber die 2. Ableitung wird noch bei x=2 0, das ist aber in diesem Fall egal, da sie sonst >0 ist und ein Punkt bzgl. der Krümmung nichts ausmacht!

Und zu d) nochmal: Erstmal 4x ausklammern und dann die NSen bestimmen.
kikooo Auf diesen Beitrag antworten »

also ist die Kurve linksgekrümmt! der ganze Graph?

@Mathespezialschüler:
wieso muss ich jetzt nach X auflösen, und bei den vorherigen Aufgaben nicht?
Und was mache ich, nachdem ich die x-werte habe?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, der ganze Graph ist linksgekrümmt.
Zur anderen Aufgabe: Du sollst ja die x bestimmen, wo f''< bzw. >0 ist. Das ist aber auf Anhieb nicht so einfach, deswegen bestimmst du erstmal die Nullstellen. Zwischen zwei Nullstellen kann man dann ganz leicht bestimmen, welches Vorzeichen f'' da hat! Augenzwinkern
kikooo Auf diesen Beitrag antworten »

wieso 4x und nicht x^3???
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde ja gerne helfen, habe aber den Anschluss verpasst und weiß nicht, auf welche Aufgabe sich die Frage bezieht.

Schreib doch nochmal alles rein, was du hast zu der Aufgabe, auf die sich deine Frage bezieht.
kikooo Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht um die Aufgabe d) f(x)=x^5-4x³

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Und zu d) nochmal: Erstmal 4x ausklammern und dann die NSen bestimmen.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja, MSS meinte sicherlich, du sollst erst die zweite Ableitung bilden und davon die Nullstellen bestimmen, denn das sind ja die Wendepunkte, wo sich die Krümmung ändert.

Mach das mal, und dazu klammerst du am besten tatsächlich den Faktor 4x aus, wie du dann sehen wirst.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

MSS meinte natürlich, dass du von der 2.Ableitung 4x ausklammern sollst.

Du sollst doch die Krümmung der Kurve bestimmen und die Krümmung der Kurve ist f''(x).

f(x) heißt y-Koordinate eines beliebigen Punktes (x / f(x)) der Kurve.

f'(x) heißt Steigung der Tangente in jedem beliiebigen Punkt (x / f(x)) der Kurve.

f''(x) heißt Krümmung der Kurve in jedem beliebigen PUnkt (x / f(x)) der Kurve.

lg kiki
kikooo Auf diesen Beitrag antworten »

O.K.

f(x)=x^5-4x^3
f'(x)=5x^4-12x^2
f''(x)=20x^3-24x
4x(5x^2-6)=0
x1=0 und 5x^2-6=0
x2=

und was soll ich jetzt mit den nulstellen machen?

jetzt, immer noch falsch?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast falsch ausgeklammert, guck dir das nochmal an! Augenzwinkern
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kikooo

und was soll ich jetzt mit den nulstellen machen?


das sind die x-Koordinaten deiner Wendepunkte.
Überleg mal, wozu du die brauchst.

lg kiki
kikooo Auf diesen Beitrag antworten »

@kikira
normalerweise muss ich die ja in die Funktion einsetzten, um die Y-Werte zu bestimmen!
Aber die Aufgabenstellung lautet ja:
Bestimme die Intervalle, in denen der Graph von f eine Linkskurve bzw. eine Rechtskurve bildet!
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte die Kurve wie eine Straße, die du mit dem Auto entlang fährst. Wo müsstest du das Lenkrad von links auf rechts oder von rechts nach links einschlagen?
Denn genau DORT ändert sich die Krümmung.

lg kiki
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kikooo
... und 5x^2-6=0
x2=

schau dir den Bruch unter der Wurzel noch mal genauer an, da ist ein Schreibfehler, und außerdem hat die Wurzel 2 Vorzeichen (es gibt also x2 und x3)
kikooo Auf diesen Beitrag antworten »

ok.

x2=+
x3=-
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Und jetzt machst du folgendes, erstmal Linearfaktorzerlegung der 2. Ableitung:



Also



Jetzt guckst du: Was passiert mit dem Vorzeichen für , was für , was für und was für ??
kikooo Auf diesen Beitrag antworten »

das habe ich jetzt nicht verstanden geschockt
was soll ich denn für x einsetzen?????
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst gar nichts für x einsetzen! Du sollst gucken, welches Vorzeichen die drei Faktoren für die jeweiligen Intervalle haben.
Ich zeig dir mal ein Beispiel und du machst es dann für die anderen.



Nehmen wir mal

.

Dafür ist

,

also auch

.

Der erste Faktor bringt also ein negatives Vorzeichen!



ist auch <0, denn aus



folgt

.

Und



ist >0. Denn aus



folgt

.

Insgesamt ist also der erste Faktor negativ, der zweite auch negativ und der dritte positiv. Du hast also -*-*+=+, dort ist also f''(x)>0. Das heißt:

Für ist f linksgekrümmt.
Und für die drei anderen Fälle machst du es jetzt ähnlich.
kikooo Auf diesen Beitrag antworten »

also dann:


negatives vorzeichen!?



positives Vorzeichen!?



positives Vorzeichen!?



könntest du mir bitte noch erklären , wie du auf die vier "Sachen" gekommen bist?

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Jetzt guckst du: Was passiert mit dem Vorzeichen für , was für , was für und was für ??
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal: Du musst in latex nicht \times für x schreiben, das sieht nich so schön aus. Du kannst auch einfach x schreiben, dann bekommst du .

richtig: negatives Vorzeichen

falsch: da ist es ein negatives Vorzeichen! Wie kommst du darauf?

richtig: positives Vorzeichen

Und wie ich auf die 4 Fälle gekommen bin:
Erstmal mit Erfahrung, sowas wird mit der Zeit Routine. Dabei denkt man sich ungefähr das:
Die Nullstellen sind ja . Da ist also . Jetzt muss man gucken, was für die anderen Werte passiert. Und da es ja keine weitere Nullstelle von f'' gibt, muss ja zwischen den Nullstellen f'' immer das gleiche Vorzeichen haben. Also z.B. muss für alle x mit



immer das gleiche Vorzeichen haben und das habe ich ja oben gezeigt, nämlich dass da das Vorzeichen positiv ist.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Schau...auf der 1. Seite dieses Threads hat dir jemand eine Kurve gepostet. Fahr doch mal die Kurve entlang, dann siehst du, WO du von links auf rechts das Lenkrad steuern müsstest - nämlich genau am Wendepunkt. Deswegen heißt der ja Wendepunkt, weil sich am Wendepunkt die Krümmung ändert und die Kurve von links auf rechts sich ändert oder von rechts auf links.

DESWEGEN musstest du die x-Werte aller Wendepunkte berechnen.

Und dann kannst die Kurve in Abschnitte einteilen und dich fragen.

Von Minus Unendlich bis zum x-Wert deines linkesten Wendepunktes ist die Kurve rechts oder links gekrümmt?

Daher lautet nun dein 1. Intervall, weil dein linkester x-Wert vom Wendepunkt -sqrt(6/5) ist:

]- unendlich ; -sqrt(6/5) [

oder anders aufgeschrieben:

für alle x-Werte, die kleiner als -sqrt(6/5) sind, gilt: blablagekrümmt:

x < -sqrt(6/5).......ist daher dein 1. Intervall, das du betrachten musst.

das nächste Intervall reicht vom x-Wert des linkesten Wendepunkts zum x-Wert des nächsten Wendepunkts.

also:

-sqrt(6/5) < x < 0 ....das ist dann dein 2. Intervall

von 0 bis +sqrt(6/5) ist dann dein 3. Intervall

und dein 4. Intervall ist dann von +sqrt(6/5) bis +unendlich.

Und wie die Kurve in diesen Intervallen gekrümmt ist, ist total leicht zu berechnen:

Du brauchst nur einen x-Wert, der sich im Intervall befindet in die 2. Ableitung (=Krümmung der Kurve) einsetzen und wenn da eine Minuszahl rauskommt, dann war die Kurve rechtsgekrümmt, kommt eine Pluszahl raus, so war sie linksgekrümmt.

Hast nun verstanden?

lg kiki
kikooo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kikira
Und wie die Kurve in diesen Intervallen gekrümmt ist, ist total leicht zu berechnen:

Du brauchst nur einen x-Wert, der sich im Intervall befindet in die 2. Ableitung (=Krümmung der Kurve) einsetzen und wenn da eine Minuszahl rauskommt, dann war die Kurve rechtsgekrümmt, kommt eine Pluszahl raus, so war sie linksgekrümmt.

Hast nun verstanden?

lg kiki


Vorraussetzung ist: Intervall ist gegeben, ist bei mir leider nicht der fall!

Eigentlich habe ich alles verstanden, bis auf die vier Fälle bzw. wie ihr auf die Intervalle gekommen seit. verwirrt traurig Hammer
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