Stammfunktion

30.03.2005, 19:40

pflanze

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Stammfunktion

hi....ich hab hier ne funktion, zu der ich die stammfunktion durch substitutuion UND produktintegration bilden soll

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} ln(x) \end{eqnarray*}$

leider krieg ichs net gebacken...bei substitution weiss ich gar nich weiter
bei der produktintegration drehe ich mich immer kreis..habe dann hinten den anfangsterm wieder stehen!?!?!

kann we rhelfen?

30.03.2005, 19:47

4c1d

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Produktintegration :
$\begin{eqnarray*} u'(x) = 1/x ;v(x) = ln(x) \end{eqnarray*}$
Substitution:
$\begin{eqnarray*} z = ln(x) => dz/dx = ... \end{eqnarray*}$
Wenn du das Prinzip der beiden Integrationsmethoden verstanden hast, sollte das eigentlich keine weiteren Probleme geben; ansonsten frag nach Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.03.2005, 20:00

pflanze

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ne, sorry komm net weiter

ich schreib ma auf, was ich hier stehen hab, wenn ich produktintegration mache

u(x) = ln(x) v´(x)= 1/x

$\begin{eqnarray*} [ln(x)\cdot ln(x) ]_{b}^a - \int_{b}^{a}~\frac{1}{x}\cdot ln (x) ~dx \end{eqnarray*}$

und dann hab ich hinten das was vorne stand

und bei der substituion komm ich auch net weiter, weil im zähler ja keineswegs die ableitung des nenners steht oder 1/x auch net innere ableitung von ln (x) wär oda so

30.03.2005, 20:10

swerbe

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hi,
ich würde es an deiner stelle mit der schon vorgeschlagenen substitution $\begin{eqnarray*} z = ln(x) \end{eqnarray*}$ versuchen.....dann löst du nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf und bildest schließlich (die triviale) ableitung mit welcher du den term noch multiplizierst......im übrigen ist deine "funktion" so wie sie da steht gar keine...korrekt müsste sie lauten:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x}*ln(x) \end{eqnarray*}$

würde ich auch so immer hinschreiben...könnte sonst "formpunkte" in der klausur kosten Augenzwinkern

Augenzwinkern

gruß swerb e

30.03.2005, 20:11

pflanze

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sorry, könnteste du editieren...das forum kann deinen beitrag leider nicht anzeigen und er intressiert mich brennend Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.03.2005, 20:13

pflanze

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sorry, kann den jetzt doch lesen

aber ich krieg es nicht hin..verdammt

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30.03.2005, 20:27

kikira

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Wenn du unterm Integral die Ausgangsposition hast, dann funktioniert das so:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x}* lnx ~dx = blabla - \int~\frac{1}{x}* lnx ~dx \end{eqnarray*}$

Jetzt bringst du das Integral von rechts nach links, dann steht auf der linken Seite: 2 * Integral von....

dann dividierst durch 2 und hast dein Integral.

lg kiki

30.03.2005, 20:33

pflanze

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ah cool demnach ist die stammfunktion

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} [ln(x)]^{2} \end{eqnarray*}$

aber wie ich da mti substitution hinkommen soll, weiss ich immer noch net *schäm*

30.03.2005, 20:39

iammrvip

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Das geht doch ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\ln x}{x}\mathrm dx \end{eqnarray*}$

Wir ersetzen:

$\begin{eqnarray*} u = \ln x \end{eqnarray*}$

und nun müssen wir auch noch dx durch du ersetzen. Dazu leiten wir beide Seiten ab. $\begin{eqnarray*} u' = \frac{\mathrm du}{\mathrm dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm du}{\mathrm dx} &= \frac{1}{x} \\ \mathrm dx &= x~\mathrm du \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} &\int \frac{\ln x}{x}\mathrm dx \\ &=\int \frac{u}{x}\cdot x~\mathrm du \\ &= \int u~\mathrm du \\ &= \frac{u^2}{2} + C \\ &= \frac{\ln^2x}{2} + C \end{eqnarray*}$

30.03.2005, 20:58

pflanze

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oh mann....ich depp
danke für die hilfe smile

smile

31.03.2005, 12:37

pflanze

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Zitat:

Original von iammrvip
Das geht doch ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\ln x}{x}\mathrm dx \end{eqnarray*}$

Wir ersetzen:

$\begin{eqnarray*} u = \ln x \end{eqnarray*}$

und nun müssen wir auch noch dx durch du ersetzen. Dazu leiten wir beide Seiten ab. $\begin{eqnarray*} u' = \frac{\mathrm du}{\mathrm dx} \end{eqnarray*}$

so, ich glaub ich hab das jetzt schon ein bissel mehr verstanden..kannte das vorher nicht mit dem du und dx, sondern hab das im kopf gemacht

eine frage hab ich gilt dieser schritt

$\begin{eqnarray*} u' = \frac{\mathrm du}{\mathrm dx} \end{eqnarray*}$

immer? kann mir den nicht so ganz erklären

verstehe schon, wie das danach dadrauf aufbaut
hab das bei andren substitutionen einfach so übernommen und hat auch geklappt....würde mich aber besser fühln, wenn ich den schritt richtig verstehen würde!

31.03.2005, 12:42

derkoch

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das ist ja ne allgemeine festlegung

$\begin{eqnarray*} u'=\frac{du}{dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'=\frac{dv}{dx} \end{eqnarray*}$
....
alles was nicht vorher anders vereinbart wurde, wird nach der variable x abgeleitet, sobald ein $\begin{eqnarray*} ' \end{eqnarray*}$ da ist.

31.03.2005, 12:44

klarsoweit

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Im Prinzip ist u eine Funktion, die von x abhängt. In diesem Fall ist u(x) = ln(x). Damit ist dann u'(x) = du/dx = 1/x.
Ich persönlich bevorzuge die umgekehrte Substitution: x(u) = e^u
Dann ist dx/du = e^u bzw. dx = e^u * du
Damit wird dann das dx im Integral komplett durch einen Ausdruck mit u ersetzt.

31.03.2005, 12:50

iammrvip

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Zitat:

Original von pflanze
eine frage hab ich gilt dieser schritt

$\begin{eqnarray*} u' = \frac{\mathrm du}{\mathrm dx} \end{eqnarray*}$

immer? kann mir den nicht so ganz erklären

Das sind einfach zwei verschiedene Schreibweisen die ein und die gleiche Bedeutung haben. es ist die 1. Ableitung der Funktion u nach x.

$\begin{eqnarray*} u'(x) \end{eqnarray*}$ nennt man Schreibweise nach Lagrange,

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm du}{\mathrm dx} \end{eqnarray*}$ nennt man Leibnizschreibweise.

Sind sind sozusagen nach ihren "Erfindern" benannt. Newton benutze seine, Leibniz die anderes Schreibweise.

In der Schulmathematik ist die Newtonschreibweise nützlicher die sie für den Gebrauch einfach kürzer ist. In der Universität wird die Leibnizschreibweise doch mehr benötigt, du siehst es ja schon bei dieser Substitutionsschreibweise. Auch des Verfahren der Trennung der Veränderlichen macht sich mit der Leibnizschreibweise besser. (auch dort kann man natürlich die N.-Schreibweise verwenden)

31.03.2005, 12:53

pflanze

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aber ich verstehe nicht warum du durch dx

u´is für mich u´...und ich versteh auch ,dass die ableitung von u 1/x ist

nur ist es ja eigentlich wichtig für die nächsten schritte zu wissen, warum du durch dx.

unglücklich

unglücklich

31.03.2005, 12:55

pflanze

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hatte den letzten beitrag noch net gelesen

ok, wenn es eine besondere schreibweise ist, nehme ich das so hin - ohne wirklich zu verstehen, was dahinter steckt

31.03.2005, 12:58

iammrvip

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Naja guck mal

Du hast die Funktion u die von x abhängt, kurz: $\begin{eqnarray*} u(x) \end{eqnarray*}$

Wenn du die jetzt ableitest, steht im Zähler wieder die Funktion also du und im Nenner nach welcher Variable du ableitest, also nach x --> dx, das schreibt man so:

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm du}{\mathrm dx} \end{eqnarray*}$

31.03.2005, 13:19

Leopold

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Zitat:

Original von iammrvip
$\begin{eqnarray*} u'(x) \end{eqnarray*}$ nennt man Newtonschreibweise,

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm du}{\mathrm dx} \end{eqnarray*}$ nennt man Leibnizschreibweise.

Soweit mir bekannt, stammt die Schreibweise mit dem Strich von Lagrange (Théorie des fonctions analytiques, 1797), nicht von Newton. Newton sprach von Fluxionen. Ich glaube, er nahm dafür den Punkt als Zeichen, wie er heute noch bei Ableitungen nach der Zeit üblich ist, z.B. $\begin{eqnarray*} \dot s \end{eqnarray*}$ .

31.03.2005, 14:01

iammrvip

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Okay, ich glaube dir smile

smile

. Ich weiß leider nicht mehr in welcher Literatur ich das gelese haben, wahrscheinlich sind die Quellen dafür auch unterschiedlich.

/edit:

Zitat:

by Wikipedia
Die Notation einer Ableitung als Quotient zweier Differentiale wurde von Leibniz eingeführt; Newton benutzte einen Punkt über der abzuleitenden Größe, was in der Physik für Zeitableitungen bis heute üblich geblieben ist. Die Notation mit Apostroph ( $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ ) geht auf Lagrange zurück, der sie 1797 in seinem Buch Théorie des fonctions analytiques einführte.

Sorry, ich weißt nicht mehr wo ich das her hab. Ich's gleich geändert.

31.03.2005, 15:39

kikira

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Es ist so schlimm. Big Laugh

Big Laugh

Wenn der Leopold auch nur leiseste Zweifel anmeldet, kann man schon mal 100% davon ausgehen, dass er recht hat, hihi.
Sowas Perfektes ist mir noch nicht untergekommen. Entsetzlich sowas, hihi.

lg kiki

31.03.2005, 16:38

iammrvip

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Big Laugh

ich vertaue ihm immer mehr als meinem Gedächtnis Big Laugh

Big Laugh

.

31.03.2005, 16:50

pflanze

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Zitat:

Original von iammrvip
Naja guck mal

Du hast die Funktion u die von x abhängt, kurz: $\begin{eqnarray*} u(x) \end{eqnarray*}$

Wenn du die jetzt ableitest, steht im Zähler wieder die Funktion also du und im Nenner nach welcher Variable du ableitest, also nach x --> dx, das schreibt man so:

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm du}{\mathrm dx} \end{eqnarray*}$

aber ich versteh nicht, warum dx gerade im nenner steht?!?!

hatte mir das ein bisschen wie kettenregel gedacht und das wäre dann ja du mal dx

unglücklich

unglücklich

31.03.2005, 17:07

iammrvip

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Mal anders. Stell dir mal bildlich vor:

Du hast einen Graphen und legst dort ein (Steigungs-)Dreieck dran. Dann ist die Länge der einen Kathete $\begin{eqnarray*} \Delta y \end{eqnarray*}$ , die anderes $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ .

Um den Anstieg der Sekante auszurechnen, kann man die Differenzenquotienten nutzen.

$\begin{eqnarray*} m = \frac{\Delta y}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

Jetzt machen wir die Seiten immer kleiner, immer kleiner, ... bis sie irgend wann so klein sind, dass sie zu einem Punkt auf dem Graphen und wir also den Anstieg der Tangente wissen.

Wir machen sie immer kleiner, also lassen wir mathematisch gesagt gegen 0 gehen.

um Diesen unendlich kleinen Teil zu symbolisieren, schreiben die statt dem $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ , ein $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ für diesen unendliichen klein Teil.

$\begin{eqnarray*} m = \frac{\Delta y}{\Delta x} \overset{x\to 0, y\to 0}{=} \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} \end{eqnarray*}$

31.03.2005, 20:58

pflanze

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ah das fand ich jetzt gut, wenn man mit der geometrischen bdeutung einer ableitung drangeht..
ok, thx smile

smile

31.03.2005, 21:15

iammrvip

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Freude

super wenn du jetzt weißt Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Freu ich mich.

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