Partielle Summenformel Geom. Reihe kx^k & zusammengesetzte Summenformel für x^k

27.09.2007, 19:08

skydiver

Partielle Summenformel Geom. Reihe kx^k & zusammengesetzte Summenformel für x^k

Hallo,

ich bin an einem Punkt angelangt, an dem ich nicht mehr weiterkomme. Ich benötige eine partielle Summenformel für die geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum^{N}_{k=1}{kq^k} \end{eqnarray*}$ .

Für die vollständige Reihe wird eine Lösung in diesem Thread vorgestellt. Ich benötige jedoch die partielle Summe. Momentan stehe ich mit diesem Problem etwas auf dem Schlauch und komme nicht mehr weiter. Ich hätte versucht die Reihe mit der erzeugenden Funktion $\begin{eqnarray*} zx^z \end{eqnarray*}$ zu lösen, aber in diesem Fall würde ich wieder bis ins unendliche aufsummieren. Mir ist nicht klar, wie ich partielle Summen mit einer erzeugenden Funktion bestimmen kann, vielleicht ist dies auch nicht möglich. Mein Analysis Buch und eine Internet Recherche haben mir bis jetzt nicht weitergeholfen.

Des Weiteren habe ich mich gefragt, ob man keine "zusammengesetzte Summenformel" für die gewöhnliche geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum^{N}_{k=1}{q^k} = \frac{q^{n}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$ aufschreiben kann. Die Reihe steckt in einem größeren Term, bei dem q auch mal 1 werden kann, weshalb ich die Lösung $\begin{eqnarray*} \frac{q^{n}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$ gerne mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ (falls q=1) kombinieren würde, um mir die Fallunterscheidung zu ersparen.

Die naheliegenste Idee ist:

$\begin{eqnarray*} \sum^{N}_{k=1}{q^k} = (1-q)\left(\frac{q^{n}-1}{q-1} - n\right) + n \end{eqnarray*}$

Der Ansatz ist natürlich falsch und stimmt nur für q=1. Da mein $\begin{eqnarray*} q \in (0, 1) \end{eqnarray*}$ müsste ich also im Falle $\begin{eqnarray*} (1-q)\ne 0 \end{eqnarray*}$ nochmal $\begin{eqnarray*} q*\left(\frac{q^{n}-1}{q-1}\right) \end{eqnarray*}$ aufaddieren, damit der Term genau 1 mal enthalten ist. Diesen Schritt bekomme ich gerade auch nicht hin. Entweder ist es schlicht unmöglich, oder ich habe Tomaten auf den Augen.

Hat jemand zu den beiden Problemen eine Idee wie ich weiter vorgehen könnte?

27.09.2007, 19:16

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partielle Summenformel Geom. Reihe kx^k & zusammengesetzte Summenformel für x^k
Kenst du dich etwasmit Ableitungen aus?

$\begin{eqnarray*} \sum^{N}_{k=1}{kq^k} = q\cdot\sum^{N}_{k=1}{kq^{k-1}} \end{eqnarray*}$ .

27.09.2007, 19:21

skydiver

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partielle Summenformel Geom. Reihe kx^k & zusammengesetzte Summenformel für x^k

Zitat:

Original von WebFritzi
Kenst du dich etwasmit Ableitungen aus?

$\begin{eqnarray*} \sum^{N}_{k=1}{kq^k} = q\cdot\sum^{N}_{k=1}{kq^{k-1}} \end{eqnarray*}$ .

Danke für deine Antwort. Ich glaube ich sehe es immer noch nicht. Was habe ich dadurch gewonnen? Das k steht ja immernoch in der Summe und taucht n mal als Faktor auf. Das muss ich ja in der Summenformel miteinbeziehen.

Oder liefert mir einfach die n-te Ableitung die Lösung? Damit würde ich jedoch keine Summenformel für beliebige n angeben können.

27.09.2007, 19:26

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Leite mal $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{N}q^k \end{eqnarray*}$ nach q ab. Augenzwinkern

27.09.2007, 19:55

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo skydiver,

ähnlich wie bei der geometrischen Summe erhält man auch hier eine explizite Darstellung, indem man $\begin{eqnarray*} (q-1)^2\sum_{k=0}^nkq^k \end{eqnarray*}$ betrachtet. Man rechnet leicht nach, dass

$\begin{eqnarray*} (q-1)^2\sum_{k=0}^nkq^k=\sum_{k=3}^{n}(k-2)q^k+(n-1)q^{n+1}+nq^{n+2}+\qquad q+2q^2+\sum_{k=3}^nkq^k\qquad -2q^2-2\sum_{k=3}^n(k-1)q^k-2nq^{n+1} \end{eqnarray*}$

Die "großen Summen" kürzen sich dabei heraus, sodass eine abschließende Division durch $\begin{eqnarray*} (q-1)^2 \end{eqnarray*}$ und Vereinfachung die explizite Darstellung liefert.

Gruß, therisen

27.09.2007, 20:45

skydiver

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke euch beiden!

Die Lösung lautet:
$\begin{eqnarray*} \frac{(q^n \cdot (n\cdot (q - 1) - 1) + 1)}{(q - 1)^2} \cdot q \end{eqnarray*}$

(Der Bruch stellt die Ableitung der bekannten Summenformel dar und das letzte q ist der Faktor, der vor der Summe stand..)

Jetzt würde ich nur noch gerne die Fälle q=1 und $\begin{eqnarray*} q \ne 1 \end{eqnarray*}$ in einem Term abhandeln. Mal sehn

27.09.2007, 20:48

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fall $\begin{eqnarray*} q=1 \end{eqnarray*}$ ist die Summenformel nach Gauß, d.h. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n=\frac{n(n+1)}2 \end{eqnarray*}$ .

27.09.2007, 20:52

skydiver

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, nur wie verstricke ich die beide Fälle? Ich hatte im Ursprungsposting mal einen Ansatz hingeschrieben. Ich möchte die Fallunterscheidung der zusammengesetzten Formel verdrahten, also nicht mehr selber durchführen.

27.09.2007, 20:55

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Formel für $\begin{eqnarray*} q\neq1 \end{eqnarray*}$ lässt sich in $\begin{eqnarray*} q=1 \end{eqnarray*}$ stetig fortsetzen, d.h. sie impliziert für $\begin{eqnarray*} q=1 \end{eqnarray*}$ die Gaußsche Summenformel.

28.09.2007, 00:27

skydiver

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von therisen
Die Formel für $\begin{eqnarray*} q\neq1 \end{eqnarray*}$ lässt sich in $\begin{eqnarray*} q=1 \end{eqnarray*}$ stetig fortsetzen, d.h. sie impliziert für $\begin{eqnarray*} q=1 \end{eqnarray*}$ die Gaußsche Summenformel.

Die Frage ist aber, wie ich das in einen Term packen kann. Klar ist das eine hebbare Unsetigkeit, da der Grenzwert eben die Gaußsche Summenformel ist, also existiert. In kann die Unstetigkeit beseitigen, indem ich für q=1 die Gaußsche Summenformel definiere. Das macht man jedoch oft über Fallunterscheidungen. Diese möchte ich jedoch nach Möglichkeit eliminieren. Momentan weiß ich nicht so genau, wie ich dies angehen soll. Mein Ansatz steht ja im Ausgangsposting, dieser funktioniert jedoch so nicht. Ich müsste das auf eine andere Art stetig fortsetzen, hmpf.. verwirrt

28.09.2007, 00:30

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von skydiver
Ich müsste das auf eine andere Art stetig fortsetzen, hmpf.. verwirrt

Es gibt höchstens eine stetige Fortsetzung. Um es etwas einfacher zu machen, kannst du auch die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\setminus\{0\}:\mathbb R, x\mapsto \frac{x^2}x \end{eqnarray*}$ betrachten. Dein Vorhaben wird sich nicht realisieren lassen. Ich sehe auch keinen vernünftigen Grund dafür. Vielleicht kannst du ja mal deine Motivation genauer erklären.

28.09.2007, 00:41

skydiver

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Vielleicht kannst du ja mal deine Motivation genauer erklären.

Die geometrische Reihe ist bei mir in einem größeren Term eingebettet. q ist bei mir keine Zahl, sondern ebenfalls ein Term, z.b. sieht eine Reihe so aus: $\begin{eqnarray*} \sum^{N}_{k=0}(a+b+2d+4e)^k \end{eqnarray*}$ . Damit möchte ich später ein Gleichungssystem lösen, ich habe also n Formeln, in denen eine derartige geometrische Reihe auftaucht und n Unbekannte. Ich muss den Ausdruck für bestimmte Variablen auflösen und das geht am einfachsten, wenn ich die Fallunterscheidungen eliminiere, da ich 5 von solchen Reihen darin habe...

Neue Frage »

Antworten »

Partielle Summenformel Geom. Reihe kx^k & zusammengesetzte Summenformel für x^k

Verwandte Themen