Wieviele Tripel gibt es?

31.03.2005, 00:14	Smasher	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieviele Tripel gibt es? Hallo, Mein Kumpel und ich haben gerade wieder rumgerechnet und kommen nicht weiter! Die Aufgabe ist folgende: Sei n eine Natürliche Zahl. Wieviele Tripel $\begin{eqnarray} (k1,k2,k3) \in \mathbb N^{3} \end{eqnarray}$ gibt es, die $\begin{eqnarray} k1+k2+k3=n \end{eqnarray}$ erfüllen? Wir haben da jetzt einfach mal für die Zahlen n=1,2,3,4 durchprobiert und sind darauf gekommen, dass es $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n+2 \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten gibt(ergab sich durch Ablesen aus dem Pascalschen Dreieck), jedoch haben wir keine Ahnung wie wir das Beweisen oder wie wir sonst einen Beweis aufziehen sollen. Kann da jemand mal ein paar Tipps geben? gruß Henning
31.03.2005, 00:29	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist auch bekannt als "Wieviele Zahlpartitionen mit r Summanden gibt es." In eurem Fall r = 3. Stellt euch mal eine Kette vor, die n Perlen hat. Diese Kette sollt ihr in 3 Teile teilen. Dafür müsst ihr an zwei beliebigen Stellen "Schnitte" machen. Jedes Kettenstück ist dann ein $\begin{eqnarray} k_i \end{eqnarray}$ (bzw, die Anzahl Perlen, die dieses Kettenstück besitzt). Jetzt müsst ihr euch nur noch fragen: Wieviele Möglichkeiten gibt es, zwei Schnitte zu machen.
31.03.2005, 12:07	Smasher	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! Trotzdem gibt es da noch ein Problem! Es gibt ja mehr möglichkeiten als 2 Schnitte zu machen. Angenommen die Kette hat 3 Perlen, habe ich 10 möglichkeiten 3+0+0 0+3+0 0+0+3 1+1+1 2+1+0 2+0+1 1+2+0 1+0+1 0+2+1 0+1+2 und bei 0 ists auch noch 1 möglichkeit nämlich die 0+0+0 Uns sind wie gesagt verbindungen im Pascalschen Dreieck aufgefallen, welche die richtigen ergebnisse bringen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}~k \Rightarrow \frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray}$ und eben der Binominalkoeffizient $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n+2 \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ alle drei bringen die selben Ergebnisse für ein beliebig natürliches n. Die Ergebnisse stellen die Möglichkeiten dar, die es in einer Addition 3er Werte gibt. Warum wir uns so auf das Pascalsche Dreieck und die Binominalkoeffizienten verbeissen? Es ist eine Aufgabe aus einem Buch das diese Kapitel vorher behandelt ha und uns ist eben aufgefallen das es ins Pascalsche Dreieck reinpasst. Nur fehlt uns eben irgendwie das können einen zusammenhang herstellen zu können. Danke und Grüße Henning
31.03.2005, 12:19	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das hat Tobias gemeint: Du hast n Kettenglieder und 2 Schnitte, das macht (n+2) Elemente. Die zwei Schnitte kannst du nun beliebig auf zwei unterschiedliche der Positionen 1..(n+2) verteilen, das sind exakt $\begin{eqnarray} {n+2\choose 2} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten für die geordneten 3er-Partitionen der Zahl n, wenn man die Null als Summand zulässt.
31.03.2005, 12:51	Smasher	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, ja danke ich denke jetzt habe ich es verstanden. grüße Henning

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