Summation mit Hilfe der Obersumme

27.09.2007, 20:28

Michael88

Summation mit Hilfe der Obersumme

Guten Abend.
Wollte hier nur mal schauen ob ich meine ha'S richtig gemacht habe.
also die abstände auf den achsen betragen b/n.

f(x)=2x

Obersumme= $\begin{eqnarray*} \frac{b}{n}*(2* \frac{b}{n})+ \frac{b}{n}*(4* \frac{b}{n})+...+ \frac{b}{n}*(2n* \frac{b}{n}) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} (\frac{b}{n}) ^{2}*[2+4+...+2n] \end{eqnarray*}$ Potenzsumme

= $\begin{eqnarray*} (\frac{b}{n}) ^{2}* \sum_{k=1}^n~2k \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} (\frac{b}{n}) ^{2}*(2* \frac{n*(n+1)}{2}) \end{eqnarray*}$ Kürzen/Ausklammern

= $\begin{eqnarray*} \frac{b^2}{n^2} *n^2*(1+\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} b^2*(1+\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$

also ich hoffe wirklich das das jetzt richtig ist unglücklich

wäre nett wenn das jemand guten gewissens bestädigen könnte ?!?
Danke schoma.
MfG

27.09.2007, 20:35

therisen

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Habe es mal überflogen und soweit keinen Fehler entdeckt. Dein Endergebnis stimmt jedenfalls, denn $\begin{eqnarray*} \int_0^b 2x\dd x=b^2 \end{eqnarray*}$ .

27.09.2007, 20:43

Michael88

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dankeschön!!!
endlich geschafft:-)
vielleicht poste ich noch eine weil ich mir da noch nicht ganz sicher bin... wäre nett wenn du da auch nochmal drüberfliegen könntest.

27.09.2007, 20:56

Michael88

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neue aufgabe
f(x)= $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$

Obersumme= $\begin{eqnarray*} \frac{b}{n}*[( \frac{b}{n})^2+1]+ \frac{b}{n}*[(2* \frac{b}{n})^2+1]+ \frac{b}{n}*[(3* \frac{b}{n})^2+1]+...+ \frac{b}{n}*[(n* \frac{b}{n})^2+1] \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} [(\frac{b}{n})^3+ \frac{b}{n}]*[1+2+3+...+n] \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} [(\frac{b}{n})^3+ \frac{b}{n}]* \sum_{k=1}^n~k \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} [(\frac{b}{n})^3+ \frac{b}{n}]* \frac{n*(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} [\frac{b^3+b*n^2}{n^3}]*[ \frac{n*(n+1)}{2}] \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} [\frac{b*(b^2+n^2)}{n^3}]*[\frac{n^2*(1+\frac{1}{n}}{2})] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{b*(b^2+n^2)}{2n}*(1+ \frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{b*(b^2+n^2)}{2*n} \end{eqnarray*}$

stimmt das auch? (hoffnung blickt durch)

27.09.2007, 21:02

therisen

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Am Schluss darf kein n mehr vorkommen. Und der Ausdruck divergiert für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ . Das korrekte Ergebnis lautet $\begin{eqnarray*} \frac13b^3+b \end{eqnarray*}$ .

27.09.2007, 21:56

Michael88

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oh man

finde meinen fehler nicht unglücklich

soll ich mal den ganzen rechenweg posten?

27.09.2007, 22:05

therisen

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Ja, mach mal.

27.09.2007, 22:36

Michael88

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habe es oben mit edit gemacht

27.09.2007, 22:42

therisen

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RE: neue aufgabe

Zitat:

Original von Michael88
Obersumme= $\begin{eqnarray*} \frac{b}{n}*[( \frac{b}{n})^2+1]+ \frac{b}{n}*[(2* \frac{b}{n})^2+1]+ \frac{b}{n}*[(3* \frac{b}{n})^2+1]+...+ \frac{b}{n}*[(n* \frac{b}{n})^2+1] \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} [(\frac{b}{n})^3+ \frac{b}{n}]*[1+2+3+...+n] \end{eqnarray*}$

Hier liegt der Fehler. Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} b+\left(\frac bn\right)^3\sum_{k=1}^n k^2 \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

27.09.2007, 22:57

Michael88

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wie kommst du auf des einzelne b am anfang? wenn ich des wieder ausmultipliziere stehst doch in dern klammer statt +1 dann +b?

27.09.2007, 23:00

therisen

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Wenn du die einzelnen Summanden der Obersumme ausmultiplizierst, erhältst du u.a. $\begin{eqnarray*} \underbrace{\frac bn+\dots+\frac bn}_{\text{n-mal}}=b \end{eqnarray*}$

27.09.2007, 23:06

Michael88

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$\begin{eqnarray*} \frac{b}{n}+ \frac{b}{n} +\frac{b}{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{3*b}{n} \end{eqnarray*}$
=doch nicht b????? oh man unglücklich

27.09.2007, 23:07

therisen

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Doch, $\begin{eqnarray*} n\cdot\frac bn=b \end{eqnarray*}$ .

27.09.2007, 23:17

Michael88

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jetzt pack ichs gar nimmer ...
meine allererste (obersummen)zeile stimmt doch oder?
des mit (b/n)^3 ausklammern versteh ich ja noch aber wie man auf des +b kommen soll .... blick jetzt gar nimmer durch
hab den ganzen tag mit dem zeugs verbracht und muss es morgen vorstelln unglücklich

27.09.2007, 23:36

therisen

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Ja, die erste Zeile stimmt, die zweite Zeile habe ich dir hingeschrieben - inklusive Erklärung.

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