Stammfunktion von...

31.03.2005, 17:51

beachboy

Stammfunktion von...

Morgän!,

wie integriere ich denn hier korrekt?

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{T}~1,5e^{-0,005(x-25)^2}~dx \end{eqnarray*}$

muss ich den Exponenten ausrechnen und dann 1,5e dadurch teilen?

Geht das auch irgendwie mit dem GTR?

Update - weggemacht

lg
beach

31.03.2005, 18:02

Tobias

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Morgän!

Ich würde den Term im Exponenten mal in eine Summe umformen (Binomische Formel + Ausmultiplizieren).

Dann benutz die Regel:

$\begin{eqnarray*} a^{b + c} = a^b \cdot a^c \end{eqnarray*}$

Und dann versuchs mal mit bekannten Regeln der Integration.

31.03.2005, 18:11

etzwane

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Durch Substitution $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{0,005}(x-25) \end{eqnarray*}$ kommst du auf ein Integral der Form $\begin{eqnarray*} \int e^{-z^2} dz, \end{eqnarray*}$ und das ist meiner Meinung nach nicht elementar lösbar. Aber natürlich gibt es Tabellen, in denen die Integralfunktion tabelliert ist, da dieses Integral doch häufig vorkommt.

31.03.2005, 18:12

iammrvip

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Hallo

Hast du auch T gegeben, dann kannst du die Lösung nämlich numerisch ermitteln. Es lässt sich ihr keine elementare Funktion angeben (wegen den entstehen $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ).

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^T~-\frac{3}{2}\mathrm e^{-\frac{(x-25)^2}{2000}}~\mathrm dx = \left[-15\sqrt{5\pi}{\rm erf}\left(\frac{x - 25}{20\sqrt 5}\right) \right]_0^T \end{eqnarray*}$

erf..Errorfunction/Fehlerfunktion

31.03.2005, 18:14

beachboy

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$\begin{eqnarray*} Morgaen^2 \end{eqnarray*}$ smile

Also wenn ich das in eine Summe bringe hab ich das raus:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{T}~1,5e^{-0,005x^2+0,25t-0,25}~dx \end{eqnarray*}$

und was meinst du jetzt mit $\begin{eqnarray*} a^{a+b} = a^{a}a^{b} \end{eqnarray*}$

thx schonmal

@die anderen ööhmm also laut meinem Buch sollte T=21 rauskommen, meine Frage bezog sich aber erstmal nur auf das integrieren dieser Funktion, lösbar wird das Ganze dann sicher, da 12,7 = $\begin{eqnarray*} /Int \end{eqnarray*}$ noch davor steht

@Iammrvip hmm kann man die nicht richtig integrieren oder wie? Eigentlich sollte das nicht so schwer sein, denn es is Stoff von Abi LK :-(

Update: Shit seh grade, dass das - vor dem 1,5 weg muss!!!

lg
beach

31.03.2005, 18:28

iammrvip

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Dadruch ändert sich nur das Vorzeichen der "Lösung":

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^T\frac{3}{2}\mathrm e^{-\frac{(x-25)^2}{2000}}\mathrm dx = \left[15\sqrt{5\pi}{\rm erf}\left(\frac{x - 25}{20\sqrt 5}\right) \right]_0^T \end{eqnarray*}$

Hast du vielleicht noch irgendetwas nicht richtig angeschrieben?? ein x vergessen oder ein Quadrat im Expontenten zu viel??

Es kann so für das Integral keine elementare Funktion (sin, cos, e, ln, ...) angeben werden.

31.03.2005, 18:44

beachboy

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Also die komplette Aufgabe lautet so:

Das Längenwachstum eines Tannensetzlings, der zu Beginn 0,3 m hoch ist, wird beschrieben durch die Funktion f(t) = $\begin{eqnarray*} f(t)=1,5e^{-0,005(t-25)^2} \end{eqnarray*}$ t = Jahre f(t) m pro Jahr

a)geben sie max. Längenwachstum an ---> t=25
b)durschnittliche Längenwachstum pro Jahr in den ersten 30 Jahren und die Höhe einer 30 Jahre alten Tanne

Mittelwert: $\begin{eqnarray*} m=\frac{1}{30} \int_{30}^{0}~f(t)~dt = 0,87 \end{eqnarray*}$
Höhe: $\begin{eqnarray*} h=0,3+\int_{30}^{0}~f(t)~dt = 26,06 \end{eqnarray*}$

So und jetzt die eigentliche Aufgabe:

c) Nach welcher Zeit ist die Tanne 13m hoch ???

$\begin{eqnarray*} 13=0,3+\int_{0}^{T}~f(t)~dt \Rightarrow 12,7=\int_{0}^{T}~f(t)~dt \end{eqnarray*}$

Müsste alles stimmen soweit? laut meinen Lösungen: "durch Ausprobieren bzw. Lösen der Integralgleichung mit dem GTR erhält man T=21"

Kann natürlich auch sein,dass die falsch liegen ?
Man kann jetzt natürlich Zahlen für T einsetzen bis man mal auf eine stößt für die es 13 ergibt aber ob das im Sinne der Abiturprüfung ist verwirrt

lg
beach

31.03.2005, 18:51

iammrvip

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Nein die Lösung stimmt schon, aber man kann es wie gesagt nur numerisch ermitteln.

Also mit dem GTR (oder durch probieren).

31.03.2005, 18:51

beachboy

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und wie löse ich das mit dem GTR verwirrt

ok mit Ausprobieren aber gibts noch nen anderen Weg?

shit aufgabe smile

31.03.2005, 18:56

iammrvip

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Was hast du denn für einen GTR?? TI?

31.03.2005, 18:59

beachboy

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Nein Casio fx970G Plus...

wird wohl nicht gehen damit nehme ich an smile

31.03.2005, 19:03

iammrvip

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Naja du müsstest den Gleichungslöser nehmen und die Gleichung eingeben, einfach stur wie sie dasteht (wahrscheinlich erst alles auf eine Seite bringen), dann nach T auslösen lassen.

31.03.2005, 19:29

brunsi

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antwort
und was wäre, wenn man das ganze jetzt nur mit zettel und papier lösen müsste, wie würde das aussehen, denn ich darf keinen GTR benutzen, aber es wäre denkbar, dass bei mir auch solche blöden aufgaben dran kommen. kann mir mal jemand die lösung hierzu reinposten, schritt für schritt, denn ich bin da irgendwie nicht ganz mitgekommen. Hab keine ahnung wie ihr dass sonst alles machen wollt. bitte helft mir!!

31.03.2005, 19:37

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Falls der GTR die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi(x) \end{eqnarray*}$ der Standardnormalverteilung bereitstellt, hilft auch die Identität

$\begin{eqnarray*} \mathrm{erf}(x) = 2\Phi\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)-1 \end{eqnarray*}$

im Zusammenhang mit iammrvip's Lösung
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=140370#post140370

31.03.2005, 19:40

iammrvip

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RE: antwort

Zitat:

Original von brunsi
und was wäre, wenn man das ganze jetzt nur mit zettel und papier lösen müsste, wie würde das aussehen, denn ich darf keinen GTR benutzen, aber es wäre denkbar, dass bei mir auch solche blöden aufgaben dran kommen. kann mir mal jemand die lösung hierzu reinposten, schritt für schritt, denn ich bin da irgendwie nicht ganz mitgekommen. Hab keine ahnung wie ihr dass sonst alles machen wollt. bitte helft mir!!

Dann darfst du eine solche Aufgabe nicht gestellt bekommen.

Du kannst mit dem Wissen aus der Schule die Lösung allerhöchstens raten, aber das fände ich für eine Abschlussprüfung ziemlich vermessen!

31.03.2005, 20:37

etzwane

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Hier mal ein mehr oder weniger genauer Verlauf des Wachstums bis 30 Jahre, Wachstumswerte gemittelt aus den Werten für Jahresanfang und Jahresende für ein Jahr.

Erstaunlich, dass sich damit die in der Aufgabenstellung angegebene Höhe von 26,06 m nach 30 Jahren ergibt, das hatte ich wegen meiner Methode wirklich nicht erwartet.

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