Galois Theorie

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matz Auf diesen Beitrag antworten »
Galois Theorie
Hallo

Ich sollte Gleichungen der folgenden Form lösen:

x^n+p*[x^(n-1)+...+x]-q=0, wobei p,q >0 sind, n ist in eine natürliche Zahl. Ich bin nur an der positiven, reellen Lösung interessiert, die in jedem Fall existiert.

Ich weiss, dass es für n=2,3,4 allgemeine Formeln gibt. Für n>4 gibt es keine allgemeine Formel. Eventuell kann aber dieser Spezialfall trotzdem aufgelöst werden mit der Galois Theorie.

Kann mir jemand weiterhelfen ?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss sagen, ich habe keine Ahnung von Algebra geschweige denn überhaupt von der Galois-Theorie, aber wie wärs denn mit



als Vereinfachung (geometrische Summenformel)!? Man erhält dann



, was zwar eine Vereinfachung, aber natürlich immer noch schwer genug zu lösen ist.
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler


Ähh, müsste es nicht heißen:

was die Sache allerdings auch nicht besser macht.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bezweifle stark, dass für jedes Tripel (n,p,q) diese beweisbar existente und eindeutige positive reelle Lösung auch mit Radikalen darstellbar ist.

Ehrlich gesagt habe ich nicht viel Ahnung von der Materie, deshalb kann ich das nicht beweisen. Aber ich habe Mathematica mal die obigen Gleichung mit n=5 und einigen konkreten p,q-Kombinationen zu fressen gegeben - Ergebnis: Meist konnte Mathematica keine Lösung in Radikalen finden. Ein Beweis ist das keinesfalls, aber doch schon ein starkes Indiz.
matz Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für diese Beiträge Leute

Ich denke aber, dass die Anwendung der geometrischen Summenformel in diesem Falle gefährlich ist, da letztere nur für |x|<1 konvergiert (x in der komplexen Ebene, ich glaube für gewisse x mit |x|=1 konvergiert das Ding auch).

Daher wird die Lösungsmenge der positiven reellen x auf das Intervall [0,1[ eingeschränkt, was nicht wirklich meine Absicht ist.

Einsichtig wird dies, wenn man bedenkt, dass in der Umformung mit (1-x) multipliziert wurde. Dies ist für x=1 eine multiplikation mit 0. Deshalb ist jetzt in Eurer Gleichung x=1 immer eine Lösung, was natürlich im allgemeinen falsch ist.

Gruss
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von matz
Ich denke aber, dass die Anwendung der geometrischen Summenformel in diesem Falle gefährlich ist, da letztere nur für |x|<1 konvergiert (x in der komplexen Ebene, ich glaube für gewisse x mit |x|=1 konvergiert das Ding auch).

Die Anwendung der geometrischen Summenformel ist völlig ungefährlich und gilt für jedes x ungleich 1. Lediglich der Grenzwert für n gegen unendlich existiert nur für |x| < 1. Aber hier steht n für einen festen Wert. Ob die Anwendung der Summenformel hier Sinn macht, ist eine andere Frage.
matz Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du natürlich recht.

Das Problem mit der Multiplikation mit (1-x) bleibt trotzdem, wobei eben einfach der Lösungsraum erweitert wird.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Katharina, hatte es richtig auf dem Blatt stehen, aber falsch abgeschrieben. Habs gleich verbessert.
@matz
Was ist denn daran so schlimm?? Kannst den Fall x=1 ja gesondert behandeln, wenn du unbedingt willst:



Bei allgemeinen n,p,q wirst du da sowieso nicht auf 1 als Lösung kommen.
matz Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Dann hab ich jetzt das Problem

mit a>-1, b<0, c>0, was immer noch nicht ganz einfach ist.

Ich denke, im allgemeinen wird das nicht auflösbar sein, oder? Wahrscheinlich lässt sich das sogar beweisen.

EDIT by therisen: Beiträge zusammengefasst und Latex-Code verbessert Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Für c=a*b ist es einfach:


Aber sonst sieht es für n>4 wohl ähnlich schlecht aus wie im allgemeinen Fall.
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