Allgemeine KD-Frage

01.04.2005, 18:20

Latrell Walker

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Allgemeine KD-Frage

Differenzialrechnung / Kurvendiskussion

Ich habe ein Bild von einer Funktion 4.Grades.Dort sind x1 und x2 als
Wendestellen markiert.Unter diesem Bild ist Parallel darunter die erste
Ableitung davon.Dort sieht man das die Punkte x1 und x2 beim der
ersten Ableitung die Extrema darstellen.Wiederum unter dem zweite
Bild ist die zweite Ableitung die x1 und x2 als Nulstellen zeigt.

Schema:

4.Grades(keine Ableitung) =x1 und x2 Wendestelle
3.Grades(erste Ableitung) =x1 und x2 Extrema
2.Grades(zweite Ableitung)=x1 und x2 Nullstellen
1.Grad(dritte Ableitung)=normale Funktion

Jetzt meine Frage zum allg. Verständnis kann mir einer mal das Schema
einer Funktion 7.Grades geben das ich das mal verstehe...!!! Hilfe

Hilfe

02.04.2005, 14:04

Frooke

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Das läuft so ziemlich auf das Gleiche hinaus, wenn ich Dich richtig verstehe (ich raff aber nicht, wieso Du grad Wendepunkte ansiehst... und so'n Schema hab ich noch nie gesehen) :

Auf jeden Fall wär's so:
7. Grad (deine Funktion); x ist eine Wendetelle
6. Grad (erste Ableitung); x ist eine Extremalstelle
5. Grad (zweite Ableitung); x ist eine Nullstelle
4. Grad (dritte Ableitung); x ist nichts spezielles mehr
3. Grad (vierte Ableitung); x ist nichts spezielles mehr
2. Grad (fünfte Ableitung); x ist nichts spezielles mehr
1. Grad (sechste Ableitung); x ist nichts spezielles mehr

LG

PS. Du könntests auch so machen

7. Grad (deine Funktion); x= Wendetelle, u = Extremum, v = Nullstelle
6. Grad (erste Ableitung); x = Extremalstelle, u = Nullstelle, v = nix spezielles
5. Grad (zweite Ableitung); x ist eine Nullstelle, u und v nix spezielles
4. Grad (dritte Ableitung); x,u,v ist nichts spezielles mehr
3. Grad (vierte Ableitung);"
2. Grad (fünfte Ableitung); "
1. Grad (sechste Ableitung); "

02.04.2005, 21:14

Latrell Walker

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Was ist denn x,u und v bei dir...???

7. Grad (deine Funktion); x= Wendetelle, u = Extremum, v = Nullstelle

02.04.2005, 21:25

Frooke

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verwirrt

Du hast es ja selbst hingeschrieben verwirrt

verwirrt

x soll der Name einer Wendestelle sein, u eine Extremstelle und v eine Nullstelle

02.04.2005, 22:03

Latrell Walker

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Hilfe

Irgendwie alles sehr verwirrend

03.04.2005, 10:58

Frooke

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Zitat:

Original von Latrell Walker
Hilfe

Hilfe

Irgendwie alles sehr verwirrend

Ja, hast recht. Ich weiss nicht, was Du mit diesen Schemata willst. Vielleicht will Dein Lehrer einfach zeigen, dass eine Wendestelle bei der ersten Ableitung eine Extremstelle ist, und diese wiederum in der 2. Ableitung eine Nullstelle ist…

Es gibt allerdings auch Sattelpunkte: Ich fasse das wohl besser mal zusammen:

Nullstelle
Bedingung:
$\begin{eqnarray*} f(x)\stackrel{!}{=}0 \end{eqnarray*}$

Extremstelle
Notwendige Bedingung:
$\begin{eqnarray*} f'(x)\stackrel{!}{=}0 \end{eqnarray*}$
Hinreichende Bedingung:
$\begin{eqnarray*} f''(x)\stackrel{!}{\neq}0 \end{eqnarray*}$

Wendestelle
Notwendige Bedingung:
$\begin{eqnarray*} f''(x)\stackrel{!}{=}0 \end{eqnarray*}$
Hinreichende Bedingung:
$\begin{eqnarray*} f'''(x)\stackrel{!}{\neq}0 \end{eqnarray*}$

Man auch mittels Vorzeichenwechsel die Existenz nachweisen...

Dann eben noch das:

Sattelstelle
Notwendige Bedingung:
$\begin{eqnarray*} f'(x)\stackrel{!}{=}0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)\stackrel{!}{=}0 \end{eqnarray*}$
Hinreichende Bedingung:
$\begin{eqnarray*} f'''(x)\stackrel{!}{\neq}0 \end{eqnarray*}$

Dies ist eine besondere Wendestelle. Falls sowohl f', als auch f'' und f''' immer null sind musst Du folgendermassen vorgehen: Ich zeige es an einem Beispiel:

1.
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=5x^4,f'(x)=0 \text{ für } x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=20x^3, f''(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=60x^2, f'''(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(4)}(x)=120x, f^{(4)}(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(5)}(x)=120, f^{(5)}(0)=120 \end{eqnarray*}$

Da eine ungerade Ableitung nicht mehr null ergibt, ist in Null eine Wendestelle, hier insbesondere auch eine Sattelstelle.

Hoffe das hilft etwas...

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03.04.2005, 11:51

4c1d

Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Übersicht, ich würde aber zu folgendem Punkt etwas ergänzend hinzufügen

Zitat:

Original von Frooke
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=5x^4,f'(x)=0 \text{ für }x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=20x^3, f''(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=60x^2, f'''(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(4)}(x)=120x, f^{(4)}(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(5)}(x)=120, f^{(5)}(0)=120 \end{eqnarray*}$

Oder auch $\begin{eqnarray*} f''(0+\epsilon) = 20 \epsilon ^3 \end{eqnarray*}$ womit durch Test von $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon < 0 \end{eqnarray*}$ klar ist, dass $\begin{eqnarray*} f''(x) \end{eqnarray*}$ sein Vorzeichen bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ wechselt smile

smile

03.04.2005, 12:35

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 4c1d
Gute Übersicht, ich würde aber zu folgendem Punkt etwas ergänzend hinzufügen

Zitat:

Original von Frooke
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=5x^4,f'(x)=0 \text{ für }x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=20x^3, f''(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=60x^2, f'''(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(4)}(x)=120x, f^{(4)}(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(5)}(x)=120, f^{(5)}(0)=120 \end{eqnarray*}$

Oder auch $\begin{eqnarray*} f''(0+\epsilon) = 20 \epsilon ^3 \end{eqnarray*}$ womit durch Test von $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon < 0 \end{eqnarray*}$ klar ist, dass $\begin{eqnarray*} f''(x) \end{eqnarray*}$ sein Vorzeichen bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ wechselt smile

smile

Wenigstens habe ich diesmal irgendwo erwähnt, dass man es auch mit dem VZW machen kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

LG

03.04.2005, 14:44

Latrell Walker

Auf diesen Beitrag antworten »

Entweder hab ich die Frage ein wenig doof gestellt oder ich bin zu blöd.

Ich möchte gerne wissen aus welchen Punken (Wende,Extreme usw.)
die Punkte bei den weiteren Ableitungen werden...!!! Hilfe

Hilfe

z.B.

Funktion 7.Grades Wendepunkte
1. Ableitung Extreme
2.Ableitung Nullstellen
3.Ableitung ...
4.Ableitung ...

Funktion 7.Grades Extrema
1. Ableitung Nullstelen
2.Ableitung ...
3.Ableitung ...
4.Ableitung ...

03.04.2005, 15:25

Frooke

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Das geht zwar eigentlich aus meinem Post oben hervor:

Eine Wendestelle der Funktion ist eine Nullstelle der 2. Ableitung und eine Extremstelle der 1. Ableitung.

Folgerichtig ist eine Extremstelle eine Nullstelle der ersten Ableitung usw.

Ein Sattelpunkt ist eine Nullstelle sowohl der ersten als auch der zweiten Ableitung.

Und eine Nullstelle der Funktion ist eine Extrem- oder Sattelstelle bei der Stammfunktion...

Ist's jetzt klar??

03.04.2005, 16:57

Latrell Walker

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unglücklich

03.04.2005, 18:13

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm. Ich check jetzt aber nicht, was Du nicht checkst... Kannst Du vielleicht nochmals ganz präzise Fragen stellen? Dann versuchen wirs nochmal Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Die Chronologie ist immer gleich:
Wendepunkte -> Extrema -> Nullstellen
normal -> erste -> zweite Ableitung

03.04.2005, 18:52

iammrvip

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Vielleicht hilft das ja.

Sei f(x) ein Polynom n-ten Grades mit

$\begin{eqnarray*} f(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots + a_1x + a_0. \end{eqnarray*}$

Dann hat f maximal

n Nullstellen
n - 1 Extrempunkte
n - 2 Wendepunkte

03.04.2005, 22:11

Frooke

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Ich starte nochmals einen Versuch:

Nehmen wir 3 Beispiele:
Das erste ist für die Extremstelle:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+1 \end{eqnarray*}$
Also ist die Ableitungsfunktion
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2x \end{eqnarray*}$
Du siehst, dass die Funktion (rot in der Zeichnung) in x=0 eine Extremstelle hat. Gleichzeitig hat die Ableitungsfunktion (grün) an dieser Stelle eine Nullstelle!

Nun für die Sattelstelle:
Die Funktion ist:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3+1 \end{eqnarray*}$
Ableitungsfunktion also
$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2 \end{eqnarray*}$
Und die 2. Ableitung ist
$\begin{eqnarray*} f''(x)=6x \end{eqnarray*}$
Du siehst, dass bei der Sattelstelle (in x=0) der Funktion (rot) sowohl die erste (grün) als auch die zweite (blau) Ableitungsfunktion eine Nullstelle haben!

Zum Schluss zum Wendepunkt:
Die Funktion ist:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3+x \end{eqnarray*}$
Ableitungsfunktion also
$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2+1 \end{eqnarray*}$
Und die 2. Ableitung ist
$\begin{eqnarray*} f''(x)=6x \end{eqnarray*}$
Du siehst, dass bei der Wendestelle (in x=0) der Funktion (rot) die erste Ableitungsfunktion (grün) eine Extremstelle hat und die Zweite (blau) eine Nullstelle!

Ists jetzt ok? Oder immer noch unglücklich

unglücklich

. Sonst nochmals fragen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.04.2005, 23:01

kikira

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub, er meint folgendes:

Zu was wird die Nullstelle von f(x) bei f'(x) und bei f''(x)?
Zu was werden die Extrema von f(x) bei f'(x) und bei f''(x)?
Zu was wird der Wendepunkt von f(x) bei f'(x) und bei f''(x)?

Wo erkennt man den Wendepunkt von f(x) bei f'(x) usw...

Glaub, dass er das meint.

lg kiki

04.04.2005, 16:25

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kikira
Ich glaub, er meint folgendes:

Zu was wird die Nullstelle von f(x) bei f'(x) und bei f''(x)?
Zu was werden die Extrema von f(x) bei f'(x) und bei f''(x)?
Zu was wird der Wendepunkt von f(x) bei f'(x) und bei f''(x)?

Wo erkennt man den Wendepunkt von f(x) bei f'(x) usw...

Glaub, dass er das meint.

lg kiki

Ja, denk ich auch, aber das geht doch aus meinen Ausführungen hervor!

Zitat:

Original von Frooke
Wendepunkte -> Extrema -> Nullstellen
normal -> erste -> zweite Ableitung

@Latrell Walker: Bitte nochmals konkret nachfragen...

04.04.2005, 17:58

Latrell Walker

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kikira
Ich glaub, er meint folgendes:

Zu was wird die Nullstelle von f(x) bei f'(x) und bei f''(x)?
Zu was werden die Extrema von f(x) bei f'(x) und bei f''(x)?
Zu was wird der Wendepunkt von f(x) bei f'(x) und bei f''(x)?

Wo erkennt man den Wendepunkt von f(x) bei f'(x) usw...

Glaub, dass er das meint.

lg kiki

Genau das meine ich, das weibliche Geschlecht weiß halt was wir Männer wollen Mit Zunge

Mit Zunge

Augenzwinkern

04.04.2005, 20:03

Frooke

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Zitat:

Original von Latrell Walker
Genau das meine ich, das weibliche Geschlecht weiß halt was wir Männer wollen Mit Zunge

Mit Zunge

Augenzwinkern

Da hast Du in der Tat recht! Aber genau das habe ich etwa in dreifacher Ausführung oben erklärt *verzeifeltguck*…

Also nochmal - aber schau nochmals meine oberen Beiträge an mit den Plots!!!

Funktion 1. Ableitung 2. Ableitung
Nullstelle nix besonderes nix besonderes
Extremum Nullstelle nix besonderes
Wendestelle Extremum Nullstelle

Aber für die Sattelpunkte musste nochmals mein Kram anschauen, denn es kann eben auch sein, dass

Funktion 1. Ableitung 2. Ableitung
Wendestelle Nullstelle und zugleich Extremum!!! Nullstelle

falls deine Wendestelle eine Sattelstelle ist!!!

LG

04.04.2005, 21:11

Latrell Walker

Auf diesen Beitrag antworten »

Yo dank ich glaub ich hab jetzt kapiert..THX Freude

Freude

P.S. @Danke für deine guten Beiträge mit Bild(sehr übersichtlich) Prost

Prost

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