Nabla

01.04.2005, 20:31

Frager

Nabla

Hallo,

ich komme mit folgender Rechnung nicht klar:

Nabla < 1 / r^k, x > = -k * 1 / r^k

< , > ist dabei das Skalarprodukt. Nabla müsste den Gradienten darstellen.

Weiß jemand, wie ich von der linken Seite auf die rechte komme?

Danke schon mal!

01.04.2005, 20:47

iammrvip

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Meinst du so??

$\begin{eqnarray*} \nabla \left\langle \frac{1}{r^k}, x \right\rangle = -k\cdot \frac{1}{r^k} \end{eqnarray*}$

verwirrt

01.04.2005, 21:11

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@Frager

In welchem Vektorraum bewegst du dich, so dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{r^k} \end{eqnarray*}$ ein Vektor ist? Nur der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^1 \end{eqnarray*}$ - wohl eher nicht, oder doch? verwirrt

01.04.2005, 21:26

Frager

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Ja, genau so hab ich es gemeint! Freude

In der Angabe stehen noch einige rätselhafte Dinge:
x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R^n, r = ||x||_2 = (x_1^2 + ... x_n ^2)^(1/2) und k $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N. Kann damit leider nicht viel anfangen.

a_2 soll "a Index 2" bedeuten. Weiß nur leider nicht,wie ich das latex-en müsste.

01.04.2005, 21:28

Frager

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danke übrigens für eure schnellen antworten! ihr seid ja fix wie nix smile

vielleicht check ich die aufgabe mit eurer hilfe ja heut doch noch...

01.04.2005, 21:36

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Vor allem stimmt deine Gleichung oben bereits von der Dimension her überhaupt nicht. Merke:

Skalarprodukt: < Vektor, Vektor > = Skalar, also reell
Nabla: $\begin{eqnarray*} \nabla \end{eqnarray*}$ Skalar = Vektor

01.04.2005, 21:59

Frager

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Die Rechnung lautet folgendermaßen (wurde so an meiner Eliteuni *hust* Forum Kloppe

vorgerechnet):

$\begin{eqnarray*} \nabla \left( \frac{x}{r^k}, x \right) = \left\langle \nabla \frac{1}{r^k} , x \right\rangle + \frac{1}{r^k} \nabla \cdot (x) = (n - k) \frac{1}{r^k} \end{eqnarray*}$

Stark, jetzt kann ich Latex! - Nur leider nicht die Rechnung Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot (x) = n \end{eqnarray*}$ ist klar
$\begin{eqnarray*} \left\langle \nabla \frac{1}{r^k} , x \right\rangle \end{eqnarray*}$ muss dann das selbe sein wie $\begin{eqnarray*} -k \frac{1}{r^k} \end{eqnarray*}$ . Nur warum? verwirrt

01.04.2005, 22:14

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Es ist $\begin{eqnarray*} \nabla\frac{1}{r^k}=-\frac{k}{r^{k+2}}\,\vec{x} \end{eqnarray*}$ , also folglich

$\begin{eqnarray*} \left\langle\nabla\frac{1}{r^k},\vec{x}\right\rangle=-\frac{k\,\|\vec{x}\|^2}{r^{k+2}}=-\frac{k}{r^k} \end{eqnarray*}$ .

Trotzdem verstehe ich nicht, was du ganz links mit den runden Klammern ausdrückst: verwirrt

Zitat:

Original von Frager
$\begin{eqnarray*} \nabla \left( \frac{x}{r^k}, x \right) \end{eqnarray*}$

EDIT: Vermutlich meinst du damit

$\begin{eqnarray*} \nabla\!\cdot\left(\frac{\vec{x}}{r^k}\right) \end{eqnarray*}$

Das würde zumindest zu der Rechnung rechts und dem Ergebnis passen.

02.04.2005, 10:50

Frager

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Ja, stimmt, so war das gedacht...

Den Schritt
$\begin{eqnarray*} \nabla\frac{1}{r^k}=-\frac{k}{r^{k+2}}\,\vec{x} \end{eqnarray*}$ verstehe ich aber leider trotzdem nicht...

Und beim Skalarprodukt entsteht wohl deshalb die Norm, weil ja eben ein Skalar rauskommen muss. Naja, alles noch ein bisschen verwirrend für mich, weil unsere Profs überall nirgends Vektorpfeile anzeichnen.

02.04.2005, 11:02

navajo

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Huhu,

Ich weiß nix obs geschickter geht, aber den Schritt kann man verstehen, wenn man einfach stumpf den Nablaoperator ausführt.

Zum Beispiel für die erste Komponente erhält man:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x_1}\frac{1}{r^k}=\frac{\partial}{\partial x_1}\left(x_1^2+-...+x_n^2\right)^{\frac{-k}{2}}=\frac{-k}{2}\left(x_1^2+-...+x_n^2\right)^{\frac{-k-2}{2}}\cdot 2x_1=-k\frac{x_1}{r^{k+2}} \end{eqnarray*}$

Analog für die restlichen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x_i}\frac{1}{r^k}=\frac{\partial}{\partial x_i}\left(x_1^2+-...+x_n^2\right)^{\frac{-k}{2}}=\frac{-k}{2}\left(x_1^2+-...+x_n^2\right)^{\frac{-k-2}{2}}\cdot 2x_i=-k\frac{x_i}{r^{k+2}} \end{eqnarray*}$

Insgesamt also:
$\begin{eqnarray*} \nabla\frac{1}{r^k}=\frac{-k}{r^{k+2}}\vec{x} \end{eqnarray*}$

Oder gibt es irgendwelche coolen Ableitungsregeln für den Nablaoperator, die es einem einfacher machen?

02.04.2005, 12:00

Frager

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Ich habs gecheckt Rock

Ihr seid wahre Helden! Mit Zunge

einfacher gehts glaub ich abr ned.

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