integrale in der wahrscheinlichkeitsrechnung

02.04.2005, 13:00

blinky01

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integrale in der wahrscheinlichkeitsrechnung

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=0 für x < -(pi/2) ,
f(x)=0 für x > (pi/2) und mit
f(x)=1/2 cos x für -(pi/2) kleiner-gleich x kleiner-gleich pi/2.

b) Bestimmen Sie P (-(pi/4) kleiner-gleich x kleiner-gleich pi/4).
c) Bestimmen Sie a so, dass P(-a kleiner-gleich X kleiner-gleich a) = 0,5.

also bei b) hab ich ja dann P (-(pi/4) kleiner-gleich x kleiner-gleich pi/4).

= F (pi/4) - F (-pi/4), aber wie rechne ich das dann weiter??

verwirrt

verwirrt

02.04.2005, 13:15

Leopold

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Auf dem betreffenden Intervall ist dein f(x) ja gerade die Cosinusfunktion. Für F(x) kannst du also einfach eine Stammfunktion der Cosinusfunktion nehmen.

02.04.2005, 13:44

blinky01

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und das heisst in der praxis was?

02.04.2005, 16:02

Leopold

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$\begin{eqnarray*} P \left(-\frac{\pi}{4} \leq X \leq \frac{\pi}{4} \right) \ = \ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}~f(x)~\mathrm{d}x \ = \ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}~\cos{x}~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

02.04.2005, 17:36

blinky01

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cool danke,so einfach ist das?? Rock

Rock

und bei c) wie rechne ich das denn mit unbekannten??
da muss ich ja das intwervall von -a über +a über die w`funktion setzen und das gleich 0,5 setzen und dann nach a auflösen,oder?nur weiß ich nicht,wie ich das nach a auflöse...

02.04.2005, 17:57

Leopold

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Du mußt einfach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ statt der $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ im Integral schreiben, das Integral mit dem Parameter $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ berechnen und das Ganze gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ setzen. Die Gleichung ist dann nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aufzulösen. Beachte noch die Ungeradheit der Sinusfunktion: $\begin{eqnarray*} \sin{(-u)} = - \sin{u} \end{eqnarray*}$

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03.04.2005, 09:25

blinky01

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und bei b) ist das dann :

sin x *pi/4 - ( sin * -pi/4) oder wie??
und wie rechne ich das aus,ich mein mit m taschenrechner,oder gibts da irgnedwo ne tabelle,wo die werte drinstehen?

und bei c) war das ja meine frage,wie ich das nach a auflöse...

naja,bin halt zu blöd für dieses thema... unglücklich

unglücklich

03.04.2005, 15:45

Leopold

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Schreib einmal deine Gleichung hin, die du nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auflösen willst.

03.04.2005, 16:34

blinky01

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$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{a}~ax~dx = 1/2 \end{eqnarray*}$

ich hab so keine ahnung davon,dass ist einfach nur traurig...

03.04.2005, 19:28

Leopold

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Nein.

$\begin{eqnarray*} \int_{-a}^a~f(x)~\mathrm{d}x \ = \ \int_{-a}^a~\cos{x}~\mathrm{d}x \ = \ \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

ist zu berechnen. Wieso änderst du den Integranden nach Gutdünken ab? Die Dichte $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist doch vorgegeben.

04.04.2005, 09:22

blinky01

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ja,aber wie komm ich von der komischen formel jetzt darauf,was a ist?

04.04.2005, 09:38

Anirahtak

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Was ist denn die Stammfunktion vom Cosinus?

Gruß
Anirahtak

04.04.2005, 09:46

blinky01

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sinus?

04.04.2005, 09:54

Anirahtak

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Fast, es ist -sin
Du erhälst also:
$\begin{eqnarray*} \int_{-a}^{a}~\cos(x)~dx =-\sin(?)-(-\sin(?)) \end{eqnarray*}$

Was gehört an die Stelle der Fragezeichen?

Gruß
Anirahtak

04.04.2005, 10:01

blinky01

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a und -a ??

04.04.2005, 10:01

Anirahtak

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Und was ist sin(-a)?

04.04.2005, 10:13

blinky01

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keine ahnung...

04.04.2005, 10:14

Anirahtak

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Wenn du den Graph vom Sinus anschaust siehst du, dass es punktsymmetrisch zum Ursprung ist - also...?

04.04.2005, 10:32

blinky01

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0?

04.04.2005, 10:35

Anirahtak

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Du meinst ernsthalt, dass sin(-a) für alle a gleich 0 ist?

Berechne mal sin(pi/2) und sin(-pi/2)...

04.04.2005, 10:36

blinky01

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ähm quatsch...

sin(-x) ist doch das selbe wie -sin (x) ??

04.04.2005, 10:38

blinky01

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nee,ich meine das sin (-a) für alle a irgendwas zwischen 1 und -1 ist

04.04.2005, 10:39

Anirahtak

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Das klingt schon wesentlich besser. (das bezieht sich auf deine erste Aussage)
Also sin(-a)=-sin(a)

Was bedeutet das für das Integral?

04.04.2005, 10:42

blinky01

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- sin (a) - sin (a)...= - sin²(a)

04.04.2005, 10:46

Anirahtak

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Bist du sicher?

04.04.2005, 10:48

blinky01

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nee,das sieht schon falsch aus,aber was sonst?

04.04.2005, 10:49

Anirahtak

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Allgemein gilt:
-x-x=-(x+x)=-2x

04.04.2005, 10:51

blinky01

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oh gott... Hammer

Hammer

also -2 sin (a)

04.04.2005, 10:54

Anirahtak

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Ich hoffe, die Verwirrung habe nicht ich verursacht.

Ist jetzt alles klar? Auch wie du zu dem a kommst?

04.04.2005, 11:03

blinky01

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nee nee,ist nur meine dummheit...hihi

und -2 sin(a) lös ich jetzt nach a auf oder wie?wie auch immer...

04.04.2005, 11:05

Anirahtak

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Du hat doch die Gleichung:

-2sin(a)=0,5

Also sin(a)=-0,25

Jetzt ist also a=arcsin(-0,25) und den Wert sagt dir z.B. dein Taschenrechner.

04.04.2005, 11:08

blinky01

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hey ja stimmt...cool...
oh man...ganz vielen lieben dank... Mit Zunge

Mit Zunge

Gott

04.04.2005, 11:43

blinky01

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kann das sein,dass da -14,477 rauskommt...??oder klingt das unlogisch?

04.04.2005, 12:13

Anirahtak

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Naja, ganz unlogisch ist das nicht. Der Cosinus hat je eine Periode von 180°. Das heißt,a=180°+(-14,477) ist auch eine Lösung und positiv.

EDIT: Außerdem hatte die ursprüngliche Dichtefunktion ja noch den Faktor 0,5.

04.04.2005, 12:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von Leopold
Nein.

$\begin{eqnarray*} \int_{-a}^a~f(x)~\mathrm{d}x \ = \ \int_{-a}^a~\cos{x}~\mathrm{d}x \ = \ \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

ist zu berechnen. Wieso änderst du den Integranden nach Gutdünken ab? Die Dichte $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist doch vorgegeben.

Hmm?

verwirrt

War die Funktion nicht 0,5 * cos(x)?
Dann muß es heißen:
$\begin{eqnarray*} \int_{-a}^a~f(x)~\mathrm{d}x \ = \ \int_{-a}^a~0,5 \cdot \cos{x}~\mathrm{d}x \ = \ \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Es ist: $\begin{eqnarray*} \int_{-a}^a~0,5 \cdot \cos{x}~\mathrm{d}x = sin(a) \end{eqnarray*}$
Die Rechnungen dazwischen kann man vergessen.

Zitat:

Original von Anirahtak
Fast, es ist -sin
Gruß
Anirahtak

Eine Stammfunktion von cos(x) ist immer noch sin(x). Außerdem hat sinus bzw. cosinus eine Periode von 360 Grad. Laßt euch hier kein x für ein u vormachen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.04.2005, 12:29

Anirahtak

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Zitat:

Original von klarsoweit
Eine Stammfunktion von cos(x) ist immer noch sin(x).

Diese Erkenntnis kam mir im Moment auch Hammer

Hammer

*hilfe*...
Danke.

04.04.2005, 14:15

blinky01

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da hatte ich ja doch recht...hihi
also vergess ich alles und nehme nur die rechnung von klarsoweit??

08.04.2005, 09:21

blinky01

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wie kommst du denn plötzlich von

$\begin{eqnarray*} \int_{-a}^{a}~0,5cosx~dx=0,5 \end{eqnarray*}$ auf

$\begin{eqnarray*} \int_{-a}^{a}~0,5cosx~dx=sin(a) \end{eqnarray*}$ ??? verwirrt

verwirrt

und wieso steht vor cos nochmal ein 0,5??

und wieso hat Anirahtak soviel anderes geschrieben,dachte sie hat ein bisschen ahnung??!! Zunge

Zunge

08.04.2005, 09:55

jovi

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Nein
$\begin{eqnarray*} \int_{-a}^{a}~0.5cos(x)~dx = sin(a) \qquad \end{eqnarray*}$ ... "ist umgeformt gleich"
warum das so ist wurde glaube ich schon ausführlich erklärt. Daraus folgt dann:

$\begin{eqnarray*} sin(a) = 0.5 \end{eqnarray*}$

08.04.2005, 11:01

blinky01

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wieso kann ich das gleiche denn nicht so rechnen,wie von Anirahtak vorher geschrieben??

dann hätten ich eben nur...:

$\begin{eqnarray*} \int_{-a}^{a}~0,5*cos(x)~dx \end{eqnarray*}$

und dann weiter : 0,5 sin(a)-sin(-a) =

0,5 sin(a)+sin(a) = 1,5 sin(a) usw...

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