Integraloperator kompakt

28.09.2007, 12:24

Ambrosius

Integraloperator kompakt

Es sei der Integraloperator
$\begin{eqnarray*} \left( Au \right) (x) := \int\limits_a^b~F(x,y,u(y))~dy \end{eqnarray*}$
und die Menge
$\begin{eqnarray*} Q := \left\{ (x,y,u) \in \mathbb{R}^3 \mid x,y \in [a,b] \quad |u| \leq r \right\} \end{eqnarray*}$
gegeben.
Weiter sei $\begin{eqnarray*} F : Q \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig, $\begin{eqnarray*} X:= C[a,b] \end{eqnarray*}$
Definiere
$\begin{eqnarray*} M := \{u \in C[a,b] \mid ||u|| \leq r \} \end{eqnarray*}$
Dann ist der Operator $\begin{eqnarray*} A: M \to C[a,b] \end{eqnarray*}$ kompakt.

Beim Beweis habe ich jedoch einige Schwierigkeiten.

Da Q kompakt ist, ist F sogar gleichmäßig stetig auf Q, d.h. für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ so dass
$\begin{eqnarray*} \left| F(x,y,u) - F(z,y,v) \right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} (x,y,u) , (z,y,v) \in Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-z| + |u - v| < \delta \end{eqnarray*}$

Da habe ich die ersten beiden Fragen:
1. Warum haben die beiden Punkte dieselbe 2. Koordinate, nämlich y?
2. Warum wir die $\begin{eqnarray*} || \cdot ||_1 \end{eqnarray*}$ - Norm gewählt? Kannn ich dies so begründen, das auf Q als Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ alle Normen äquivalent sind?

Wäre nett, wenn mir jemand diese ersten beiden Fragen beantworten könnte. vielleicht erübrigen sich die restlichen, die ich jetzt der übersichtlichkeit halber noch nicht poste, dann

28.09.2007, 13:14

WebFritzi

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RE: Integraloperator kompakt

Zitat:

Original von Ambrosius
Da Q kompakt ist, ist F sogar gleichmäßig stetig auf Q, d.h. für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ so dass
$\begin{eqnarray*} \left| F(x,y,u) - F(z,y,v) \right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} (x,y,u) , (z,y,v) \in Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-z| + |u - v| < \delta \end{eqnarray*}$

Da habe ich die ersten beiden Fragen:
1. Warum haben die beiden Punkte dieselbe 2. Koordinate, nämlich y?
2. Warum wir die $\begin{eqnarray*} || \cdot ||_1 \end{eqnarray*}$ - Norm gewählt? Kannn ich dies so begründen, das auf Q als Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ alle Normen äquivalent sind?

Zu 1.) Du schreibst ja nicht, wie es weitergeht. Woher sollen wir das also wissen? Die Aussage ist nur eine Folgerung aus der Stetigkeit von F und keine Äquivalenz.

Zu 2.) Ja. Es kann jede beliebige Norm gewählt werden. Möglicherweise ist die 1-Norm hier praktisch.

Nochwas: Die Definition von M ist überflüssig. Jedenfalls mit der Definition von Kompaktheit, die ich kenne.

28.09.2007, 13:29

Ambrosius

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RE: Integraloperator kompakt
Ok, dann poste ich mal den Rest:

Da Q kompakt ist, ist F sogar gleichmäßig stetig auf Q, d.h. für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ so dass
$\begin{eqnarray*} \left| F(x,y,u) - F(z,y,v) \right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} (x,y,u) , (z,y,v) \in Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-z| + |u - v| < \delta \end{eqnarray*}$

Als erstes zeigen wir die Stetigekit von A.
Wenn $\begin{eqnarray*} u \in M \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} u : [a,b] \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig und beschränkt.
Damit ist dann auch die Funktion $\begin{eqnarray*} Au : [a,b] \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig.
Seien $\begin{eqnarray*} u,v \in M \end{eqnarray*}$ . Aus
$\begin{eqnarray*} ||u-v|| = \max\limits_{a \leq x \leq b} |u(y) - v(y)| < \delta \end{eqnarray*}$
folgt dann
$\begin{eqnarray*} ||Au-Av|| = \max\limits_{a \leq x \leq b} \left| \int\limits_a^b~[F(x,y,u(y)) - F(x,y,v(y)) ]~dy \right| \leq (b-a) \cdot \varepsilon \end{eqnarray*}$
womit die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} A : M \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gezeigt ist.

Dann wird noch gezeigt, dass A(M) beschränkt und gleichgradig stetig ist, was ich auch nachvollziehen kann.

28.09.2007, 13:48

Ambrosius

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Soeben ist mir (hoffentlich) der richtige Gedanke gekommen.

Der Operator A läuft ja von M nach C[a,b].
bildet also beschränkte stetige Funktionen auf wiederum stetige Funktionen ab.

Nun ist der Operator so definiert, dass die daraus (also nach Ausführung des Operators) folgende Funktion von x (und nur von x) abhängig ist. Insbesondere ist die resultierende Fkt von y unabhängig weshalb es für die spätere Berechnung besser ist bei der gleichmäßigen Stetigkeit die 2. Koordinate gleich zu wählen.

Erlaubt ist dies da die gleichmäßige stetigkeit aufgrund des kompakten Intervalles für alle Punkte gilt.

28.09.2007, 13:51

WebFritzi

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RE: Integraloperator kompakt

Zitat:

Wie gesagt ist das eine Folgerung aus der glm. Stetigkeit von F. Die wird hier explizit nochmal hingeschrieben, da nur sie benötigt wird.

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